Công cụ này làm gì
Công cụ này tính bốn chuẩn ma trận được dùng phổ biến nhất cho mọi ma trận thực n x m \(\text{A} = \{a_{ij}\}\): chuẩn L1 (tổng giá trị tuyệt đối lớn nhất theo cột), chuẩn L2 / chuẩn phổ (giá trị kỳ dị lớn nhất), chuẩn Frobenius (căn bậc hai của tổng bình phương mọi phần tử) và chuẩn L-vô cùng (tổng giá trị tuyệt đối lớn nhất theo hàng). Chuẩn ma trận cho biết "độ lớn" của một ma trận cũng như hệ số kéo giãn tối đa mà nó có thể tác động lên một vectơ, vì vậy chúng đóng vai trò thiết yếu trong đại số tuyến tính số, tối ưu hóa, học máy và phân tích tính ổn định. Đây là toán học thuần túy nên kết quả là như nhau ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Hãy nhập số hàng (n) và số cột (m), sau đó gõ ma trận vào ô văn bản theo nguyên tắc mỗi hàng một dòng, các phần tử cách nhau bằng dấu cách hoặc dấu phẩy. Ô để trống sẽ được hiểu là 0. Chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, rồi đọc kết quả của cả bốn chuẩn. Các phần tử âm được xử lý tự động vì mỗi công thức đều dùng giá trị tuyệt đối ở nơi cần thiết.
Giải thích các công thức
Chuẩn 1 cộng các giá trị tuyệt đối theo từng cột rồi lấy tổng lớn nhất. Chuẩn vô cùng làm tương tự nhưng theo từng hàng. Chuẩn Frobenius trải phẳng ma trận thành một vectơ rồi lấy độ dài Euclid của nó: căn bậc hai của tổng bình phương mọi phần tử. Chuẩn phổ bằng giá trị kỳ dị lớn nhất \(\sigma_{\max}(\text{A})\), được tìm bằng căn bậc hai của trị riêng lớn nhất của ma trận Gram đối xứng A-chuyển vị nhân A; trị riêng này được xác định bằng phương pháp lặp lũy thừa.
$$\|\text{A}\|_{1} = \max_{1 \le j \le m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$
$$\|\text{A}\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$
$$\|\text{A}\|_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$
$$\|\text{A}\|_{2} = \sigma_{\max}(\text{A}) = \sqrt{\lambda_{\max}\!\left(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\right)}$$
Với ma trận toàn số 0, mọi chuẩn đều bằng 0 ngay lập tức.
Ví dụ minh họa
Với \(\text{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\): tổng các cột là 4 và 6 nên chuẩn L1 bằng 6; tổng các hàng là 3 và 7 nên chuẩn L-vô cùng bằng 7. Chuẩn Frobenius bằng $$\sqrt{1+4+9+16} = \sqrt{30} = 5.4772255751.$$ Ma trận Gram \(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A} = \begin{bmatrix} 10 & 14 \\ 14 & 20 \end{bmatrix}\) có các trị riêng là nghiệm của phương trình $$\lambda^{2} - 30\lambda + 4 = 0,$$ cho \(\lambda_{\max} = 29.8660687473\), do đó chuẩn phổ bằng $$\sqrt{29.8660687473} = 5.4649857042.$$
Câu hỏi thường gặp
Chuẩn phổ có giống chuẩn Frobenius không? Chỉ giống nhau với ma trận hạng 1 (ví dụ một vectơ hàng hoặc vectơ cột đơn lẻ). Trong trường hợp tổng quát, \(\|\text{A}\|_{2} \le \|\text{A}\|_{F}\), và \(\|\text{A}\|_{F}\) nhiều nhất bằng \(\sqrt{\text{hạng}} \cdot \|\text{A}\|_{2}\).
Còn ma trận phức thì sao? Hãy thay mỗi phần tử bằng mô-đun của nó trong các phần liên quan đến giá trị tuyệt đối, và dùng chuyển vị liên hợp khi tính chuẩn phổ. Công cụ này dành cho ma trận thực.
Tại sao chuẩn L1 dùng cột còn L-vô cùng dùng hàng? Đây là các chuẩn cảm sinh (chuẩn toán tử) xuất phát từ chuẩn vectơ L1 và L-vô cùng, và chúng tính ra đúng bằng tổng lớn nhất theo cột và theo hàng tương ứng.
