この計算ツールでできること
本ツールは、任意の実 n×m 行列 \(\text{A} = \{a_{ij}\}\) について、最もよく使われる4種類の行列ノルムを計算します。すなわち、L1ノルム（各列の絶対値和の最大値）、L2／スペクトルノルム（最大特異値）、フロベニウスノルム（全成分の二乗和の平方根）、そしてL∞ノルム（各行の絶対値和の最大値）です。行列のノルムは、行列の「大きさ」や、ベクトルを最大でどれだけ引き伸ばせるかを表す指標であり、数値線形代数・最適化・機械学習・安定性解析などに欠かせません。これは純粋な数学であり、どの国・地域でも結果は変わりません。
使い方
まず行数 \(n\) と列数 \(m\) を指定し、テキストボックスに1行ずつ行列を入力します。各成分はスペースまたはカンマで区切ってください。空欄は 0 として扱われます。表示する有効桁数を選べば、4種類のノルムがすべて表示されます。各式では必要に応じて絶対値を用いるため、負の成分もそのまま自動で正しく処理されます。
各ノルムの計算式
1ノルムは各列について絶対値を縦に合計し、その中で最大の値を採用します。∞ノルムは同じことを各行について行います。フロベニウスノルムは行列を1本のベクトルとみなしてユークリッド長を取るもので、全成分を二乗した和の平方根です。スペクトルノルムは最大特異値 \(\sigma_{\max}(\text{A})\) に等しく、対称なグラム行列 \(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\) の最大固有値の平方根として求められます。
$$\|\text{A}\|_{1} = \max_{1 \le j \le m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$ $$\|\text{A}\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$ $$\|\text{A}\|_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$ $$\|\text{A}\|_{2} = \sigma_{\max}(\text{A}) = \sqrt{\lambda_{\max}\!\left(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\right)}$$本ツールではこの固有値をべき乗法によって計算します。なお、すべての成分が 0 の行列では、いずれのノルムも 0 になります。
計算例
\(\text{A} = [[1, 2], [3, 4]]\) の場合：列和は 4 と 6 なので L1ノルムは 6、行和は 3 と 7 なので L∞ノルムは 7 です。フロベニウスノルムは
$$\sqrt{1+4+9+16} = \sqrt{30} = 5.4772255751$$となります。グラム行列 \(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A} = [[10,14],[14,20]]\) の固有値は \(\lambda^{2} - 30\lambda + 4 = 0\) を満たし、\(\lambda_{\max} = 29.8660687473\) が得られます。したがってスペクトルノルムは
$$\sqrt{29.8660687473} = 5.4649857042$$です。
よくある質問
スペクトルノルムとフロベニウスノルムは同じですか？ 一致するのはランク1の行列（1行のみ、または1列のみのベクトルなど）の場合だけです。一般には \(\text{norm2} \le \text{normF}\) が成り立ち、さらに normF は最大で \(\sqrt{\text{rank}}\) 倍の norm2 までになります。
複素行列の場合は？ 絶対値を用いる部分では各成分をその大きさ（絶対値）に置き換え、スペクトルノルムでは共役転置を用います。本ツールは実行列を対象としています。
なぜL1ノルムは列で、L∞ノルムは行を使うのですか？ これらはそれぞれ L1 ベクトルノルムと L∞ ベクトルノルムから導かれる誘導（作用素）ノルムであり、計算するとそれぞれ最大列和・最大行和になるためです。
