À quoi sert ce calculateur
Cet outil calcule quatre des normes matricielles les plus utilisées pour n'importe quelle matrice réelle \(n \times m\), notée \(\text{A} = \{a_{ij}\}\) : la norme L1 (somme maximale des valeurs absolues d'une colonne), la norme L2 / spectrale (la plus grande valeur singulière), la norme de Frobenius (racine de la somme des carrés de tous les coefficients) et la norme L-infini (somme maximale des valeurs absolues d'une ligne). Les normes matricielles mesurent la « taille » d'une matrice ainsi que le facteur maximal d'étirement qu'elle peut appliquer à un vecteur, ce qui les rend incontournables en algèbre linéaire numérique, en optimisation, en apprentissage automatique et en analyse de stabilité. Il s'agit de mathématiques pures, identiques partout dans le monde.
Comment l'utiliser
Indiquez le nombre de lignes (\(n\)) et de colonnes (\(m\)), puis saisissez la matrice dans la zone de texte, une ligne par ligne, en séparant les coefficients par des espaces ou des virgules. Toute case vide est interprétée comme 0. Choisissez ensuite le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis lisez directement les quatre normes. Les coefficients négatifs sont gérés automatiquement, car chaque formule fait appel aux valeurs absolues là où c'est nécessaire.
Les formules expliquées
La norme 1 additionne les valeurs absolues de chaque colonne et retient le plus grand total. La norme infini fait de même, mais ligne par ligne. La norme de Frobenius « aplatit » la matrice en un vecteur et en prend la longueur euclidienne : la racine carrée de la somme des carrés de tous les coefficients. La norme spectrale est égale à la plus grande valeur singulière \(\sigma_{\max}(\text{A})\), obtenue comme la racine carrée de la plus grande valeur propre de la matrice de Gram symétrique A-transposée A ; cette valeur propre est calculée par la méthode de la puissance itérée. Une matrice entièrement nulle ramène immédiatement chaque norme à 0.
$$\|\text{A}\|_{1} = \max_{1 \le j \le m} \sum_{i=1}^{n} |a_{ij}|$$$$\|\text{A}\|_{\infty} = \max_{1 \le i \le n} \sum_{j=1}^{m} |a_{ij}|$$$$\|\text{A}\|_{F} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{ij}^{2}}$$$$\|\text{A}\|_{2} = \sigma_{\max}(\text{A}) = \sqrt{\lambda_{\max}\!\left(\text{A}^{\mathsf{T}}\text{A}\right)}$$
Exemple détaillé
Pour \(\text{A} = [[1, 2], [3, 4]]\) : les sommes des colonnes valent 4 et 6, donc la norme L1 est égale à 6 ; les sommes des lignes valent 3 et 7, donc la norme L-infini est égale à 7. La norme de Frobenius est $$\sqrt{1+4+9+16} = \sqrt{30} = 5{,}4772255751.$$ La matrice de Gram A-transposée A \(= [[10,14],[14,20]]\) possède des valeurs propres solutions de \(\lambda^2 - 30\lambda + 4 = 0\), ce qui donne \(\lambda_{\max} = 29{,}8660687473\) ; la norme spectrale vaut donc $$\sqrt{29{,}8660687473} = 5{,}4649857042.$$
FAQ
La norme spectrale est-elle identique à la norme de Frobenius ? Uniquement pour les matrices de rang 1 (par exemple un vecteur ligne ou colonne). En général, norme2 est inférieure ou égale à normeF, qui est elle-même au plus égale à \(\sqrt{\text{rang}}\) fois norme2.
Et pour les matrices complexes ? Il faut remplacer chaque coefficient par son module dans les parties faisant intervenir la valeur absolue, et utiliser la transposée conjuguée pour la norme spectrale. Ce calculateur est conçu pour les matrices réelles.
Pourquoi la norme L1 porte-t-elle sur les colonnes et la norme L-infini sur les lignes ? Ce sont les normes induites (ou normes d'opérateur) issues des normes vectorielles L1 et L-infini, et elles correspondent respectivement aux sommes maximales par colonne et par ligne.
