Qu'est-ce que le calculateur de formule de l'angle double ?
Cet outil applique les identités trigonométriques de l'angle double à n'importe quel angle θ. Saisissez un angle en degrés ou en radians et vous obtenez immédiatement \(\sin(2\theta)\), \(\cos(2\theta)\) et \(\tan(2\theta)\). Ces identités expriment une fonction du double d'un angle à partir des fonctions de l'angle simple : elles sont indispensables pour simplifier des expressions, résoudre des équations trigonométriques ou calculer des intégrales.
Comment l'utiliser
Indiquez votre angle θ, précisez s'il est exprimé en degrés ou en radians, puis lisez les trois résultats. Les degrés sont convertis en radians en interne (multiplication par \(\pi/180\)) avant l'application des fonctions trigonométriques.
Les formules expliquées
L'identité du sinus est $$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$ Celle du cosinus s'écrit $$\cos 2\theta = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$$ (équivalente à \(2\cos^{2}\theta - 1\) ou à \(1 - 2\sin^{2}\theta\)). L'identité de la tangente est $$\tan 2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$$ Cette forme n'est pas définie partout où \(\cos(2\theta) = 0\) (par exemple pour \(\theta = 45°\), où \(1 - \tan^{2}\theta = 0\)) ; le calculateur signale alors ces cas par la mention « non défini ».
Exemple concret
Pour \(\theta = 30°\) : \(\sin\theta = 0{,}5\) et \(\cos\theta = 0{,}8660\). On obtient alors $$\sin 2\theta = 2(0{,}5)(0{,}8660) = 0{,}8660$$ ce qui correspond à \(\sin(60°)\). $$\cos 2\theta = 0{,}8660^{2} - 0{,}5^{2} = 0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5 = \cos(60°)$$ Enfin, \(\tan 2\theta = \sin(60°)/\cos(60°) \approx 1{,}7320\).
Foire aux questions
Pourquoi tan(2θ) affiche-t-il « non défini » ? Parce que la tangente n'est pas définie lorsque son argument atteint \(90°\) (\(\pi/2\)) plus un multiple de \(180°\). Pour \(\theta = 45°\), \(2\theta = 90°\) et \(\cos(2\theta) = 0\) : le rapport a alors un dénominateur nul.
Puis-je travailler en radians ? Oui, sélectionnez l'option Radians : aucune conversion n'est appliquée.
Les résultats se répètent-ils ? Oui, les fonctions trigonométriques sont périodiques : des angles séparés par un nombre entier de tours donnent des résultats identiques.
