À quoi sert ce calculateur
Cet outil évalue numériquement une intégrale définie sur un intervalle semi-infini, \(I = \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx\), à l'aide de la variante de la quadrature double-exponentielle (DE) dédiée à la demi-droite. La méthode DE est un schéma universel de grande précision, particulièrement adapté aux intégrandes qui décroissent algébriquement (en loi de puissance, du type \(1/x^{p}\)) vers l'infini et qui peuvent présenter une légère singularité à la borne inférieure \(x = a\). Elle n'est en revanche pas conçue pour les intégrandes périodiques ou oscillantes.
Comment l'utiliser
Saisissez l'intégrande f(x) sous forme d'expression mathématique de la variable x (les opérateurs + - * / ^ sont pris en charge, ainsi que les parenthèses et les fonctions sqrt, exp, log, log10, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs, sans oublier les constantes pi et e). Indiquez la borne inférieure finie a, choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis validez. Le résultat correspond à la valeur numérique de l'intégrale.
La formule expliquée
La demi-droite est transposée sur toute la droite réelle grâce au changement de variable \(\phi(t) = \exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\), de sorte que \(x = a + \phi(t)\) parcourt l'intervalle depuis a (lorsque \(t \to -\infty\)) jusqu'à \(+\infty\). Sa dérivée vaut \(\phi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cdot\cosh(t)\cdot\exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\). L'intégrande transformée \(g(t) = f(a + \phi(t))\cdot\phi'(t)\) décroît de façon double-exponentielle aux deux extrémités : la simple règle des trapèzes appliquée à une grille uniforme est alors quasi optimale :
$$I \approx h\cdot\sum_{k=-N}^{N} g(kh).$$Les nœuds susceptibles de provoquer un dépassement (grandes valeurs de t) sont ignorés, car l'intégrande y est pratiquement nulle.
Exemple résolu
Pour \(f(x) = \dfrac{1}{1 + x^{3/2}}\) avec \(a = 0\), la valeur exacte est \(\dfrac{4\pi}{3\sqrt{3}} \approx 2{,}4183991523\). La somme DE avec \(h = \tfrac{1}{16}\) reproduit ce résultat à de nombreux chiffres près. En \(t = 0\) : \(\phi = 1\), \(x = 1\), \(f = 0{,}5\), \(\phi' = \tfrac{\pi}{2} \approx 1{,}5708\), d'où \(g \approx 0{,}7854\) ; la somme de tous les nœuds pondérés converge vers \(2{,}41840\).
FAQ
Puis-je l'utiliser pour des intégrandes à décroissance exponentielle ? Cela fonctionne toujours, mais un autre changement de variable DE converge plus vite pour une décroissance purement exponentielle ; cette variante-ci vise la décroissance algébrique.
Pourquoi une intégrande oscillante échoue-t-elle ? La somme des trapèzes d'une oscillation qui ne décroît pas ne converge pas : la quadrature DE pour la demi-droite n'est donc pas adaptée à ce cas.
Que modifie le réglage du nombre de chiffres ? Uniquement l'arrondi affiché ; le calcul interne s'effectue toujours en double précision complète.
