यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल अर्ध-अनंत अंतराल पर एक निश्चित समाकलन का संख्यात्मक मान निकालता है, \(I = \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx\), जिसके लिए यह आधी-रेखा (half-line) के लिए विशेष रूप से बनी डबल-एक्सपोनेंशियल (DE) क्वाड्रेचर का उपयोग करता है। DE विधि एक सार्वभौमिक और उच्च-परिशुद्धता वाली योजना है, जो विशेष रूप से उन समाकल्यों के लिए उपयुक्त है जो अनंत की ओर बीजगणितीय रूप से (पावर-लॉ, जैसे \(1/x^{p}\)) क्षय होते हैं और जिनके निचले सिरे \(x = a\) पर हल्की विचित्रता (singularity) हो सकती है। यह आवर्ती (periodic) या दोलनशील (oscillatory) समाकल्यों के लिए नहीं बनी है।
इसका उपयोग कैसे करें
समाकल्य f(x) को चर x के पद में एक गणितीय व्यंजक के रूप में दर्ज करें (यह + - * / ^, कोष्ठक, और sqrt, exp, log, log10, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs के साथ-साथ अचर pi और e का समर्थन करता है)। परिमित निचली सीमा a दर्ज करें, चुनें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं, और सबमिट करें। परिणाम समाकलन का संख्यात्मक मान होगा।
सूत्र की व्याख्या
चर-परिवर्तन \(\phi(t) = \exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\) के द्वारा आधी-रेखा को पूरी वास्तविक रेखा पर मैप किया जाता है, ताकि \(x = a + \phi(t)\) मान \(a\) (जब \(t \to -\infty\)) से \(+\infty\) तक फैले। इसका अवकलज \(\phi^{\prime}(t) = \tfrac{\pi}{2}\cdot\cosh(t)\cdot\exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\) होता है। रूपांतरित समाकल्य \(g(t) = f(a + \phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t)\) दोनों सिरों पर डबल-एक्सपोनेंशियल रूप से क्षय होता है, इसलिए एकसमान ग्रिड पर सरल समलंब नियम (trapezoidal rule) लगभग सर्वोत्तम होता है:
$$I \approx h\cdot\sum_{k=-N}^{N} g(kh)$$वे नोड जो ओवरफ्लो करते हैं (बड़े \(t\) पर) छोड़ दिए जाते हैं क्योंकि वहाँ समाकल्य व्यावहारिक रूप से शून्य होता है।
हल किया गया उदाहरण
\(f(x) = 1/(1 + x^{3/2})\) और \(a = 0\) के लिए सटीक मान \(\tfrac{4\pi}{3\sqrt{3}} \approx 2.4183991523\) है। \(h = 1/16\) के साथ DE योग इसे कई अंकों तक पुनः प्रस्तुत कर देता है। \(t = 0\) पर: \(\phi = 1\), \(x = 1\), \(f = 0.5\), \(\phi^{\prime} = \pi/2 \approx 1.5708\), इसलिए \(g \approx 0.7854\); सभी भारित नोड को जोड़ने पर यह \(2.41840\) पर अभिसरित (converge) हो जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या मैं इसे एक्सपोनेंशियल रूप से क्षयित समाकल्यों के लिए उपयोग कर सकता हूँ? यह तब भी काम करता है, लेकिन शुद्ध एक्सपोनेंशियल क्षय के लिए एक अलग DE मैप तेज़ी से अभिसरित होता है; यह संस्करण बीजगणितीय क्षय के लिए लक्षित है।
दोलनशील समाकल्य पर यह विफल क्यों हो जाता है? बिना क्षय वाले दोलन का समलंब योग अभिसरित नहीं होता, इसलिए आधी-रेखा के लिए DE क्वाड्रेचर वहाँ उपयुक्त नहीं है।
अंक (digits) सेटिंग से क्या बदलता है? केवल दिखाई जाने वाली राउंडिंग; आंतरिक गणना हमेशा पूर्ण डबल परिशुद्धता (double precision) का उपयोग करती है।
