Công cụ này làm gì
Công cụ này tính số một tích phân xác định trên khoảng nửa vô hạn, \(I = \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx\), bằng biến thể cầu phương Hàm Mũ Kép (Double-Exponential, viết tắt DE) được thiết kế riêng cho nửa đường thẳng. Phương pháp DE là một sơ đồ tổng quát, độ chính xác cao, đặc biệt phù hợp với những hàm dưới dấu tích phân suy giảm theo lũy thừa (kiểu luật lũy thừa, chẳng hạn \(1/x^{p}\)) khi x tiến ra vô cực và có thể có một điểm kỳ dị nhẹ tại đầu mút dưới x = a. Phương pháp này không dành cho các hàm tuần hoàn hay dao động.
Cách sử dụng
Nhập hàm dưới dấu tích phân f(x) dưới dạng biểu thức toán học theo biến x (hỗ trợ + - * / ^, dấu ngoặc, cùng sqrt, exp, log, log10, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs, và các hằng số pi và e). Nhập cận dưới hữu hạn a, chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, rồi nhấn tính. Kết quả là giá trị số của tích phân.
Giải thích công thức
Nửa đường thẳng được ánh xạ lên toàn bộ trục số thực qua phép đổi biến \(\phi(t) = \exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\), nên \(x = a + \phi(t)\) quét từ a (khi \(t \to -\infty\)) đến \(+\infty\). Đạo hàm của nó là \(\phi^{\prime}(t) = \tfrac{\pi}{2}\cdot\cosh(t)\cdot\exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\). Hàm sau khi biến đổi \(g(t) = f(a + \phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t)\) suy giảm theo hàm mũ kép ở cả hai đầu, vì vậy quy tắc hình thang đơn giản trên lưới đều gần như tối ưu:
$$I \approx h\cdot\sum_{k=-N}^{N} g(kh).$$Các nút gây tràn số (t lớn) được bỏ qua vì tại đó hàm dưới dấu tích phân coi như bằng không.
Ví dụ minh họa
Với \(f(x) = 1/(1 + x^{3/2})\) và \(a = 0\), giá trị chính xác là \(4\pi/(3\sqrt{3}) \approx 2.4183991523\). Tổng DE với \(h = 1/16\) tái hiện kết quả này với độ chính xác đến nhiều chữ số. Tại \(t = 0\): \(\phi = 1\), \(x = 1\), \(f = 0.5\), \(\phi^{\prime} = \pi/2 \approx 1.5708\), nên \(g \approx 0.7854\); cộng tất cả các nút đã được gán trọng số, kết quả hội tụ về \(2.41840\).
Câu hỏi thường gặp
Tôi có thể dùng cho hàm suy giảm theo hàm mũ không? Vẫn dùng được, nhưng với hàm suy giảm theo hàm mũ thuần túy thì một phép ánh xạ DE khác sẽ hội tụ nhanh hơn; biến thể này nhắm vào sự suy giảm theo lũy thừa.
Vì sao hàm dao động lại không tính được? Tổng hình thang của một dao động không suy giảm sẽ không hội tụ, nên cầu phương DE cho nửa đường thẳng không phù hợp trong trường hợp đó.
Thiết lập số chữ số thay đổi điều gì? Chỉ ảnh hưởng đến cách làm tròn khi hiển thị; phần tính toán bên trong luôn dùng độ chính xác kép (double precision) đầy đủ.
