Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa numéricamente una integral definida sobre un intervalo semiinfinito, \(I = \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx\), mediante la variante de cuadratura doble exponencial (DE) diseñada para la semirrecta. El método DE es un esquema universal de alta precisión, especialmente apropiado para integrandos que decaen de forma algebraica (según una ley de potencias, como \(1/x^{p}\)) hacia el infinito y que pueden presentar una singularidad suave en el extremo inferior \(x = a\). No está pensado para integrandos periódicos ni oscilatorios.
Cómo usarla
Introduce el integrando f(x) como una expresión matemática en la variable x (admite + - * / ^, paréntesis y sqrt, exp, log, log10, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs, además de las constantes pi y e). Indica el límite inferior finito a, elige cuántas cifras significativas quieres mostrar y envía. El resultado es el valor numérico de la integral.
La fórmula explicada
La semirrecta se transforma en toda la recta real mediante el cambio de variable \(\phi(t) = \exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\), de modo que \(x = a + \phi(t)\) recorre desde \(a\) (cuando \(t \to -\infty\)) hasta \(+\infty\). Su derivada es \(\phi'(t) = \tfrac{\pi}{2}\cdot\cosh(t)\cdot\exp\!\left(\tfrac{\pi}{2}\cdot\sinh t\right)\). El integrando transformado \(g(t) = f(a + \phi(t))\cdot\phi'(t)\) decae de forma doble exponencial en ambos extremos, por lo que la sencilla regla del trapecio sobre una malla uniforme resulta casi óptima:
$$I \approx h\cdot\sum_{k=-N}^{N} g(kh).$$Los nodos que provocan desbordamiento (valores grandes de \(t\)) se descartan, ya que allí el integrando es prácticamente nulo.
Ejemplo resuelto
Para \(f(x) = 1/(1 + x^{3/2})\) con \(a = 0\), el valor exacto es \(4\pi/(3\sqrt{3}) \approx 2{,}4183991523\). La suma DE con \(h = 1/16\) reproduce este resultado con muchas cifras. En \(t = 0\): \(\phi = 1\), \(x = 1\), \(f = 0{,}5\), \(\phi' = \pi/2 \approx 1{,}5708\), por lo que \(g \approx 0{,}7854\); al sumar todos los nodos ponderados se converge a \(2{,}41840\).
Preguntas frecuentes
¿Puedo usarla con integrandos de decaimiento exponencial? Sigue funcionando, pero para un decaimiento puramente exponencial converge más rápido otra transformación DE; esta variante está orientada al decaimiento algebraico.
¿Por qué falla con un integrando oscilatorio? La suma del trapecio de una oscilación que no decae no converge, así que la cuadratura DE para la semirrecta no es adecuada en ese caso.
¿Qué cambia el ajuste de cifras? Solo el redondeo mostrado; el cálculo interno siempre emplea doble precisión completa.
