¿Qué es la concentración intrínseca de portadores?
La concentración intrínseca de portadores ni es el número de electrones libres (igual al número de huecos) por centímetro cúbico que existe en un semiconductor puro, sin dopar y en equilibrio térmico. Se trata de una de las magnitudes más fundamentales de la física de dispositivos: determina la corriente de fuga de los diodos, la corriente de oscuridad de los detectores y la sensibilidad de los transistores a la temperatura. Los materiales de banda ancha, como el carburo de silicio, presentan una ni minúscula, mientras que los de banda estrecha, como el germanio, tienen un valor mucho mayor.
Cómo usar la calculadora
Introduce la densidad efectiva de estados en la banda de conducción (\(N_c\)) y en la banda de valencia (\(N_v\)) en cm⁻³, la energía de la banda prohibida \(E_g\) en electronvoltios y la temperatura absoluta \(T\) en kelvin. La calculadora devuelve \(n_i\) junto con la media geométrica \(\sqrt{N_c \cdot N_v}\) y el factor exponencial de Boltzmann, de modo que puedas ver cómo contribuye cada término.
La fórmula explicada
La expresión es $$n_i = \sqrt{\text{N}_c \cdot \text{N}_v}\;\exp\!\left(-\frac{\text{E}_g}{2\,k\,\text{T}}\right)$$ El prefactor \(\sqrt{N_c \cdot N_v}\) refleja los estados disponibles cerca de los bordes de banda, mientras que el término exponencial —el factor de Boltzmann— describe cómo la energía térmica promueve electrones a través de la banda prohibida. Como \(n_i\) depende de forma exponencial de \(-E_g/2kT\), crece muy rápido con la temperatura y cae bruscamente cuando la banda es más ancha. Aquí \(k = 8{,}617333262\times10^{-5}\ \text{eV/K}\), de manera que \(E_g\) y \(kT\) comparten las mismas unidades de energía.
Ejemplo resuelto
Para el silicio a 300 K con \(N_c = 2{,}8\times10^{19}\), \(N_v = 1{,}04\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}\) y \(E_g = 1{,}12\ \text{eV}\): \(\sqrt{N_c \cdot N_v} = \sqrt{2{,}912\times10^{38}} \approx 1{,}7065\times10^{19}\). El exponente vale \(-1{,}12 / (2 \cdot 8{,}617333262\times10^{-5} \cdot 300) \approx -21{,}66\), lo que da \(\exp \approx 3{,}91\times10^{-10}\). Por tanto, \(n_i \approx 6{,}68\times10^{9}\ \text{cm}^{-3}\), un valor próximo al de referencia de los libros de texto, de aproximadamente \(10^{10}\ \text{cm}^{-3}\) (las pequeñas diferencias se deben a las masas efectivas elegidas).
Preguntas frecuentes
¿Por qué \(n_i\) usa \(2kT\) y no \(kT\)? Porque el nivel de Fermi se sitúa aproximadamente en el centro de la banda prohibida y cada portador es "la mitad" de un par electrón-hueco, así que la energía de la banda se reparte y aparece el factor 2 en el denominador.
¿Qué unidades debo usar? \(N_c\) y \(N_v\) en cm⁻³, \(E_g\) en eV y \(T\) en kelvin. El resultado queda entonces expresado en cm⁻³.
¿Sirve para cualquier semiconductor? Sí, es una relación física universal. Solo tienes que introducir los valores correctos de \(N_c\), \(N_v\) y \(E_g\) para tu material y temperatura.
