진성 캐리어 농도 계산기

계산 입력

전도대 상태밀도 Nc (cm⁻³)

가전자대 상태밀도 Nv (cm⁻³)

밴드갭 에너지 Eg (eV)

온도 T (K)

결과

진성 캐리어 농도

66.75899E8

cm⁻³

√(Nc·Nv)	1706.458E16 cm⁻³
exp(−Eg / 2kT)	391.2137E-12

진성 캐리어 농도란?

진성 캐리어 농도 \(n_i\)는 도핑하지 않은 순수 반도체가 열평형 상태에 있을 때 1세제곱센티미터당 존재하는 자유전자의 수(이는 정공의 수와 같습니다)를 뜻합니다. 소자 물리에서 가장 기본이 되는 값 중 하나로, 다이오드의 누설 전류, 검출기의 암전류, 트랜지스터의 온도 민감도를 결정합니다. 실리콘 카바이드(SiC)처럼 밴드갭이 넓은 물질은 \(n_i\)가 매우 작고, 게르마늄(Ge)처럼 밴드갭이 좁은 물질은 훨씬 큰 값을 갖습니다.

진성 반도체에서 밴드 갭을 가로질러 동일한 수의 전자와 정공이 열적으로 생성된다.

계산기 사용 방법

전도대 유효 상태밀도(\(N_c\))와 가전자대 유효 상태밀도(\(N_v\))를 cm⁻³ 단위로, 밴드갭 에너지 \(E_g\)를 전자볼트(eV) 단위로, 절대온도 \(T\)를 켈빈(K) 단위로 입력하세요. 계산기는 \(n_i\)와 함께 기하평균 \(\sqrt{N_c \cdot N_v}\), 그리고 지수 형태의 볼츠만 인자를 함께 보여 주므로 각 항이 결과에 어떻게 기여하는지 한눈에 확인할 수 있습니다.

공식 설명

계산식은 다음과 같습니다.

$$n_i = \sqrt{N_c \cdot N_v}\;\exp\!\left(-\frac{E_g}{2\,k\,T}\right)$$

앞쪽 계수 \(\sqrt{N_c \cdot N_v}\)는 밴드 가장자리 근처에서 이용 가능한 상태의 수를 나타내고, 지수 항(볼츠만 인자)은 열에너지가 전자를 밴드갭 너머로 얼마나 들뜨게 하는지를 설명합니다. \(n_i\)는 \(-E_g/2kT\)에 지수적으로 의존하기 때문에 온도가 오르면 가파르게 증가하고, 밴드갭이 넓어지면 급격히 작아집니다. 여기서 \(k = 8.617333262\times10^{-5}\ \text{eV/K}\)이며, 이렇게 두면 \(E_g\)와 \(kT\)가 같은 에너지 단위를 공유하게 됩니다.

n_i는 볼츠만 인자로 인해 온도에 따라 지수적으로 증가한다.

계산 예시

300 K에서 \(N_c = 2.8\times10^{19}\), \(N_v = 1.04\times10^{19}\ \text{cm}^{-3}\), \(E_g = 1.12\ \text{eV}\)인 실리콘을 예로 들어 보겠습니다.

$$\sqrt{N_c \cdot N_v} = \sqrt{2.912\times10^{38}} \approx 1.7065\times10^{19}$$

지수 부분은 다음과 같습니다.

$$-\frac{1.12}{2 \cdot 8.617333262\times10^{-5} \cdot 300} \approx -21.66$$

따라서 \(\exp \approx 3.91\times10^{-10}\) 입니다. 결과적으로 \(n_i \approx 6.68\times10^{9}\ \text{cm}^{-3}\)가 되어, 교과서에 흔히 나오는 약 \(10^{10}\ \text{cm}^{-3}\) 값과 잘 일치합니다(작은 차이는 사용한 유효 질량 값에 따라 생깁니다).

자주 묻는 질문

왜 \(n_i\) 식에는 \(kT\)가 아니라 \(2kT\)가 들어가나요? 페르미 준위가 대략 밴드갭의 중간에 위치하기 때문입니다. 각 캐리어는 전자-정공 쌍의 "절반"에 해당하므로 밴드갭 에너지가 나뉘게 되고, 그 결과 분모에 2가 들어갑니다.

어떤 단위를 사용해야 하나요? \(N_c\)와 \(N_v\)는 cm⁻³, \(E_g\)는 eV, \(T\)는 켈빈(K)으로 입력하세요. 그러면 결과는 cm⁻³ 단위로 나옵니다.

어떤 반도체에든 적용할 수 있나요? 네, 이 식은 모든 반도체에 통용되는 보편적인 물리 관계식입니다. 사용하는 물질과 온도에 맞는 \(N_c\), \(N_v\), \(E_g\) 값만 정확히 넣으면 됩니다.