고유진동수란?
고유진동수는 외부의 가진력이나 감쇠 없이 평형 위치에서 벗어난 시스템이 다시 풀려났을 때 스스로 진동하는 빈도를 말합니다. 단순한 스프링-질량계에서는 스프링 강성 \(k\)와 매달린 질량 \(m\)에 의해서만 결정됩니다. 고유진동수를 이해하는 것은 기계공학과 구조공학에서 매우 중요합니다. 시스템을 이 진동수 근처에서 가진하면 공진이 발생해 진동이 크게 증폭되고 결국 파손으로 이어질 수 있기 때문입니다.
계산기 사용법
스프링 강성 \(k\)를 미터당 뉴턴(N/m) 단위로, 질량 \(m\)을 킬로그램(kg) 단위로 입력하세요. 계산기는 헤르츠(Hz) 단위의 고유진동수, 라디안/초(rad/s) 단위의 각진동수 ω, 그리고 초(s) 단위의 진동 주기 T를 알려줍니다. 스프링이 단단할수록, 질량이 가벼울수록 고유진동수는 높아집니다.
공식 풀이
감쇠가 없는 고유진동수는 다음과 같이 구합니다.
$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{\text{Stiffness }k}{\text{Mass }m}}$$
여기서 \(\sqrt{k/m}\)는 rad/s 단위의 각고유진동수 ω이며, 이를 2π로 나누면 초당 사이클(Hz) 단위의 일반 진동수로 변환됩니다. 주기는 간단히 \(T = 1 / f\)로 구할 수 있습니다.
계산 예시
강성 \(k = 1000\ \text{N/m}\)인 스프링에 질량 \(m = 2\ \text{kg}\)이 매달려 있다고 가정해 봅시다. 그러면 $$\omega = \sqrt{\frac{1000}{2}} = \sqrt{500} \approx 22.3607\ \text{rad/s}$$가 됩니다. 고유진동수는 $$f = \frac{22.3607}{2\pi} \approx 3.5588\ \text{Hz}$$이고, 주기는 $$T = \frac{1}{3.5588} \approx 0.281\ \text{초}$$입니다.
자주 묻는 질문
감쇠가 고유진동수를 바꾸나요? 약한 감쇠는 진동 주파수를 약간 낮춥니다(이를 감쇠 고유진동수라고 합니다). 하지만 이 계산기는 감쇠가 없는 값을 제공하며, 이것이 표준 기준값으로 사용됩니다.
어떤 단위를 써야 하나요? SI 단위를 사용하세요. k는 N/m, m은 kg으로 입력하면 진동수가 곧바로 Hz 단위로 나옵니다.
공진은 왜 위험한가요? 외부 힘이 고유진동수와 같은 주파수로 진동하면 매 주기마다 에너지가 누적됩니다. 이로 인해 진폭이 매우 커진 진동이 발생하여 구조물과 기계를 손상시킬 수 있습니다.
