주응력이란?
재료 요소가 2차원으로 하중을 받으면, 작용하는 응력은 절단면의 방향에 따라 달라집니다. 주응력이란 전단응력이 0이 되는 특정 평면에서 나타나는 최대(σ₁) 및 최소(σ₂) 수직응력을 말합니다. 엔지니어는 이 값을 이용해 복합 하중을 받는 구조 부재나 기계 부품의 항복과 파손을 예측합니다.
계산기 사용 방법
평면응력 상태를 이루는 세 가지 성분을 입력하세요. x방향 수직응력(\(\sigma_x\)), y방향 수직응력(\(\sigma_y\)), 그리고 전단응력(\(\tau_{xy}\))입니다. 단위는 MPa, ksi, psi 등 어떤 것이든 동일한 단위로 일관되게 쓰면 됩니다. 계산기는 \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), 면내 최대 전단응력 \(\tau_{max}\), 그리고 주응력면의 방향을 나타내는 주응력 방향각 \(\theta_p\)를 함께 산출합니다.
공식 설명
주응력은 전단응력이 0이 되는 방향으로 응력 텐서를 회전시켜 구합니다.
$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^{2}}$$첫 번째 항은 평균 수직응력으로, 모어 원(Mohr's circle)의 중심에 해당합니다. 제곱근 항은 모어 원의 반지름이며, 이는 곧 최대 전단응력 \(\tau_{max}\)와 같습니다. 주응력 방향각은 \(\theta_p = \tfrac{1}{2}\,\operatorname{atan2}(2\tau_{xy},\, \sigma_x - \sigma_y)\)로 구합니다.
계산 예제
\(\sigma_x = 50\), \(\sigma_y = 10\), \(\tau_{xy} = 20\)인 경우: 평균 = 30, 반지름 = \(\sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} \approx 28.28\)입니다. 따라서 \(\sigma_1 \approx 58.28\), \(\sigma_2 \approx 1.72\), \(\tau_{max} \approx 28.28\)이며, \(\theta_p = \tfrac{1}{2}\,\operatorname{atan2}(40, 40) = 22.5°\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
단위는 무엇인가요? 출력값은 입력한 응력 단위를 그대로 따릅니다. \(\sigma_x\), \(\sigma_y\), \(\tau_{xy}\)가 모두 같은 단위를 쓰기만 하면, 공식 자체는 단위에 구애받지 않습니다.
\(\sigma_2\)가 음수이면 무슨 의미인가요? 주응력이 음수이면 해당 평면이 압축 상태임을 뜻하고, 양수이면 인장 상태임을 나타냅니다.
평면응력인가요, 평면변형률인가요? 이 방정식은 면내(2차원) 평면응력 상태를 다룹니다. 면 바깥 방향의 세 번째 주응력은 0으로 가정합니다.
