حاسبة الإجهادات الرئيسية

أدخل الحساب

الإجهاد العمودي σx

الإجهاد العمودي σy

إجهاد القص τxy

صيغة رياضية

Show calculation steps (2)

1. Maximum Shear Stress

   

   tau_max equals the radius term R

2. Principal Angle

   

   theta_p in degrees from the half arctangent of 2*tau_xy over (sigma_x - sigma_y)

نتائج

الإجهاد الرئيسي الأقصى σ₁

٥٨٫٢٨

بالوحدة نفسها المُدخَلة

الإجهاد الرئيسي الأدنى σ₂	١٫٧٢
أقصى إجهاد قص τmax	٢٨٫٢٨
الزاوية الرئيسية θp	٢٢٫٥°

ما هو الإجهاد الرئيسي؟

عندما يتعرّض عنصر مادي لأحمال في بُعدين، تعتمد الإجهادات المؤثرة عليه على اتجاه المستوى القاطع. أما الإجهادات الرئيسية فهي الإجهادات العمودية القصوى (\(\sigma_1\)) والدنيا (\(\sigma_2\)) التي تظهر على مستويات محددة ينعدم عندها إجهاد القص. يستعين المهندسون بهذه القيم للتنبؤ بالخضوع والانهيار في العناصر الإنشائية وأجزاء الآلات عند تعرّضها لأحمال مركّبة.

مركّبات الإجهاد \(\sigma_x\) و\(\sigma_y\) و\(\tau_{xy}\) المؤثرة على عنصر إجهاد مستوٍ ثنائي الأبعاد.

كيفية استخدام الحاسبة

أدخل المكوّنات الثلاثة لحالة الإجهاد المستوية: الإجهاد العمودي في اتجاه المحور x (\(\sigma_x\))، والإجهاد العمودي في اتجاه المحور y (\(\sigma_y\))، وإجهاد القص (\(\tau_{xy}\)). يمكنك استخدام أي وحدة قياس متجانسة (ميغاباسكال MPa، أو ksi، أو psi). تُرجع الحاسبة قيم \(\sigma_1\) و\(\sigma_2\)، وأقصى إجهاد قص مستوي \(\tau_{max}\)، والزاوية الرئيسية \(\theta_p\) التي تحدّد توجّه المستويات الرئيسية.

شرح المعادلة

تُستخرج الإجهادات الرئيسية بتدوير موتر الإجهاد إلى الاتجاه الذي ينعدم عنده القص:

$$\sigma_{1,2} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^{2}}$$

يمثّل الحد الأول متوسط الإجهاد العمودي (مركز دائرة موهر)، بينما يمثّل حد الجذر التربيعي نصف قطر دائرة موهر، وهو يساوي أقصى إجهاد قص \(\tau_{max}\). أما الزاوية الرئيسية فتُحسب من العلاقة \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\tan^{-1}\!\left(\frac{2\,\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}\right)\).

دائرة موهر: الإجهادات الرئيسية \(\sigma_1\) و\(\sigma_2\) على المحور الأفقي وأقصى قص في الأعلى.

مثال محلول

لنفترض أن \(\sigma_x = 50\) و\(\sigma_y = 10\) و\(\tau_{xy} = 20\): عندئذٍ يكون المتوسط \(= 30\)، ونصف القطر \(= \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{800} \approx 28.28\). وبذلك نحصل على \(\sigma_1 \approx 58.28\) و\(\sigma_2 \approx 1.72\) و\(\tau_{max} \approx 28.28\)، بينما \(\theta_p = \frac{1}{2}\,\operatorname{atan2}(40, 40) = 22.5°\).

الأسئلة الشائعة

ما هي وحدات القياس؟ يستخدم الناتج وحدة الإجهاد التي تُدخلها أنت؛ فالمعادلة مستقلة عن الوحدات طالما تشترك \(\sigma_x\) و\(\sigma_y\) و\(\tau_{xy}\) في الوحدة نفسها.

ماذا تعني قيمة \(\sigma_2\) السالبة؟ تشير قيمة الإجهاد الرئيسي السالبة إلى ضغط على ذلك المستوى، في حين تدل القيم الموجبة على شدّ.

هل هذه حالة إجهاد مستوي أم انفعال مستوي؟ تصف هذه المعادلات حالة الإجهاد المستوي داخل المستوى (ثنائي الأبعاد)، إذ يُفترض أن الإجهاد الرئيسي الثالث خارج المستوى يساوي صفرًا.