ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة دالتين خاصّتين وثيقتي الصلة ببعضهما ضمن التوزيع الطبيعي القياسي ثنائي البُعد (الثنائي المتغيّر): دالة أوين T أي \(T(h,a)\) ودالة V أي \(V(h,a)\). تصف كلتا الدالتين كتلة الاحتمال للكثافة الطبيعية القياسية فوق منطقة على شكل إسفين يحدّها الخط المستقيم \(y = a\cdot x\). وتظهر هاتان الدالتان في مجالات إحصائية واسعة — في التوزيعات الطبيعية المنحرفة (skew-normal)، واحتمالات التوزيع الطبيعي الثنائي، وتحليل الموثوقية، وتسعير الخيارات المالية. وهي رياضيات بحتة لا ترتبط بمنطقة جغرافية معيّنة (تنطبق في كل مكان).
كيفية الاستخدام
أدخل النقطة المئوية h (الحد الأعلى لتكامل x والوسيط المعياري)، والمعامل a (ميل خط الحد \(y = a\cdot x\)). كلاهما عددان حقيقيان بلا وحدات. ثم اضغط على «احسب» للحصول على قيمتي \(T(h,a)\) وV\((h,a)\).
شرح الصيغة
باعتماد الكثافة الطبيعية القياسية \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\)، تُحسب دالة أوين T مباشرةً بالعلاقة $$T(h,a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{e^{-\frac{1}{2}h^2(1+t^2)}}{1+t^2}\,dt$$ تُقيّم الحاسبة هذا التكامل باستخدام قاعدة سيمبسون المركّبة على شبكة دقيقة (آلاف الفترات الجزئية)، وهي طريقة مستقرة لأن دالة المُكامِل لا تتباعد أبدًا. أما دالة V فتُستنتَج من المتطابقة المعتمدة في الصفحة \(T(h,a) + V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi}\)، وبالتالي $$V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi} - T(h,a)$$ حيث تكون arctan مقدّرة بالراديان.
مثال محلول
عند \(h = 2\) و\(a = 0.6\): يكون التكامل \(\int_{0}^{0.6} \frac{e^{-2(1+t^2)}}{1+t^2}\,dt \approx 0.05990\)، ومن ثَمّ \(T = \frac{0.05990}{6.283185} \approx 0.0095330\). وبعدها \(V = \frac{\arctan(0.6)}{2\pi} - T = \frac{0.540419}{6.283185} - 0.0095330 \approx 0.0764779\).
الأسئلة الشائعة
هل دالة T متماثلة بالنسبة إلى h؟ نعم — إذ تعتمد T على \(h^2\) فقط، فيكون \(T(-h,a) = T(h,a)\). وماذا عن القيم السالبة للمعامل a؟ دالة T فردية بالنسبة إلى a: أي \(T(h,-a) = -T(h,a)\)، وكذلك \(V(h,-a) = -V(h,a)\) لأن دالة arctan فردية. وماذا لو كان a = 0؟ تكون كلٌّ من T وV مساوية للصفر تمامًا، لأن الإسفين ينهار إلى خط مساحته صفر.
