À quoi sert ce calculateur
Cet outil évalue deux fonctions spéciales étroitement liées à la loi normale standard en dimension deux (loi normale bivariée) : la fonction T d'Owen \(T(h,a)\) et la fonction V \(V(h,a)\). Toutes deux décrivent la masse de probabilité de la densité normale standard sur une région en forme de coin délimitée par la droite \(y = a\cdot x\). On les retrouve partout en statistique — dans les lois normales asymétriques (skew-normal), les probabilités normales bivariées, l'analyse de fiabilité et la valorisation d'options. Il s'agit de mathématiques pures, indépendantes de toute région : ces fonctions s'appliquent universellement.
Comment l'utiliser
Saisissez le point critique h (la borne supérieure de l'intégration en x et l'argument standardisé) ainsi que le coefficient a (la pente de la droite frontière \(y = a\cdot x\)). Ces deux valeurs sont des nombres réels sans dimension. Cliquez sur calculer pour obtenir \(T(h,a)\) et \(V(h,a)\).
La formule expliquée
Avec la densité normale standard \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\), la fonction T d'Owen se calcule directement par $$T(h,a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{e^{-\frac{1}{2}h^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt.$$ Le calculateur évalue cette intégrale par la méthode composite de Simpson sur une grille fine (des milliers de sous-intervalles), méthode stable car l'intégrande ne diverge jamais. La fonction V découle ensuite de l'identité affichée sur la page \(T(h,a) + V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi}\), d'où $$V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi} - T(h,a),$$ où arctan est exprimée en radians.
Exemple résolu
Pour \(h = 2\) et \(a = 0{,}6\) : l'intégrale $$\int_{0}^{0{,}6} \frac{e^{-2(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt \approx 0{,}05990,$$ donc $$T = \frac{0{,}05990}{6{,}283185} \approx 0{,}0095330.$$ Ensuite $$V = \frac{\arctan(0{,}6)}{2\pi} - T = \frac{0{,}540419}{6{,}283185} - 0{,}0095330 \approx 0{,}0764779.$$
FAQ
T est-elle symétrique en h ? Oui — T ne dépend que de \(h^2\), donc \(T(-h,a) = T(h,a)\). Et pour un a négatif ? T est impaire en a : \(T(h,-a) = -T(h,a)\), et de même \(V(h,-a) = -V(h,a)\), car arctan est impaire. Que se passe-t-il si a = 0 ? T et V valent exactement 0, puisque le coin se réduit à une droite d'aire nulle.
