Qué hace esta calculadora
Esta herramienta evalúa dos funciones especiales estrechamente relacionadas de la distribución normal estándar en dos dimensiones (bivariante): la función T de Owen \(T(h,a)\) y la función V \(V(h,a)\). Ambas describen la masa de probabilidad de la densidad normal estándar sobre una región en forma de cuña delimitada por la recta y = a·x. Aparecen por toda la estadística: en distribuciones normales asimétricas (skew-normal), en probabilidades de la normal bivariante, en el análisis de fiabilidad y en la valoración de opciones. Se trata de matemática pura y es independiente de la región: se aplica en cualquier lugar.
Cómo usarla
Introduce el punto porcentual h (el límite superior de la integración en x y el argumento estandarizado) y el coeficiente a (la pendiente de la recta frontera y = a·x). Ambos son números reales adimensionales. Pulsa calcular para obtener \(T(h,a)\) y \(V(h,a)\).
La fórmula explicada
Con la densidad normal estándar \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^{2}/2}\), la T de Owen se calcula directamente como $$T(h,a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{e^{-\frac{1}{2}h^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt$$ La calculadora evalúa esta integral con la regla compuesta de Simpson sobre una malla fina (miles de subintervalos), lo que resulta estable porque el integrando nunca se dispara. La función V se obtiene entonces a partir de la identidad de esta página \(T(h,a) + V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi}\), de modo que $$V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi} - T(h,a),$$ donde arctan está expresado en radianes.
Ejemplo resuelto
Para h = 2 y a = 0,6: la integral $$\int_{0}^{0.6} \frac{e^{-2(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt \approx 0{,}05990,$$ así que $$T = \frac{0{,}05990}{6{,}283185} \approx 0{,}0095330.$$ Entonces $$V = \frac{\arctan(0{,}6)}{2\pi} - T = \frac{0{,}540419}{6{,}283185} - 0{,}0095330 \approx 0{,}0764779.$$
Preguntas frecuentes
¿Es T simétrica en h? Sí: T depende únicamente de \(h^{2}\), por lo que \(T(-h,a) = T(h,a)\). ¿Y con a negativo? T es impar en a: \(T(h,-a) = -T(h,a)\), e igualmente \(V(h,-a) = -V(h,a)\), porque arctan es impar. ¿Qué ocurre si a = 0? Tanto T como V valen exactamente 0, ya que la cuña se reduce a una recta de área nula.
