यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल द्वि-आयामी (द्विचर) मानक सामान्य बंटन से जुड़े दो आपस में संबंधित विशेष फ़ंक्शनों की गणना करता है: ओवेन का T फ़ंक्शन \(T(h,a)\) और V फ़ंक्शन \(V(h,a)\)। ये दोनों उस त्रिकोणनुमा (wedge) क्षेत्र पर मानक सामान्य घनत्व के प्रायिकता द्रव्यमान को दर्शाते हैं जिसकी सीमा सरल रेखा \(y = a\cdot x\) बनाती है। ये फ़ंक्शन सांख्यिकी में हर जगह दिखते हैं — तिरछे-सामान्य (skew-normal) बंटन, द्विचर सामान्य प्रायिकताओं, विश्वसनीयता विश्लेषण और ऑप्शन प्राइसिंग में। यह शुद्ध गणित है और किसी देश या क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता (यह हर जगह समान रूप से लागू होता है)।
इसका उपयोग कैसे करें
प्रतिशत बिंदु h दर्ज करें (यह x के समाकलन की ऊपरी सीमा और मानकीकृत आर्ग्युमेंट है) और गुणांक a दर्ज करें (यह सीमा रेखा \(y = a\cdot x\) की ढाल यानी slope है)। दोनों इकाई-रहित वास्तविक संख्याएँ हैं। \(T(h,a)\) और \(V(h,a)\) पाने के लिए calculate दबाएँ।
सूत्र की व्याख्या
मानक सामान्य घनत्व \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}\) के साथ, ओवेन का T सीधे इस तरह निकाला जाता है:
$$T(h,a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{e^{-\frac{1}{2}h^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt$$कैलकुलेटर इस समाकल को संयुक्त सिम्पसन नियम (composite Simpson's rule) से एक बारीक ग्रिड पर (हज़ारों उप-अंतरालों में) हल करता है, जो स्थिर रहता है क्योंकि समाकल्य (integrand) कभी अनंत तक नहीं पहुँचता। इसके बाद V फ़ंक्शन इस पृष्ठ की सर्वसमिका \(T(h,a) + V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi}\) से मिल जाता है, यानी
$$V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi} - T(h,a)$$जहाँ arctan रेडियन में है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(h = 2\) और \(a = 0.6\): तब समाकल
$$\int_{0}^{0.6} \frac{e^{-2(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt \approx 0.05990$$इसलिए
$$T = \frac{0.05990}{6.283185} \approx 0.0095330$$फिर
$$V = \frac{\arctan(0.6)}{2\pi} - T = \frac{0.540419}{6.283185} - 0.0095330 \approx 0.0764779$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या T, h में सममित (symmetric) है? हाँ — T केवल \(h^2\) पर निर्भर करता है, इसलिए \(T(-h,a) = T(h,a)\)। ऋणात्मक a पर क्या होगा? T, a में विषम (odd) है: \(T(h,-a) = -T(h,a)\), और इसी तरह \(V(h,-a) = -V(h,a)\), क्योंकि arctan भी विषम फ़ंक्शन है। अगर a = 0 हो तो? तब T और V दोनों ठीक 0 होते हैं, क्योंकि wedge सिकुड़कर शून्य क्षेत्रफल वाली एक रेखा रह जाता है।
