Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, iki boyutlu (iki değişkenli) standart normal dağılıma ait birbiriyle yakından ilişkili iki özel fonksiyonu hesaplar: Owen T fonksiyonu \(T(h,a)\) ve V fonksiyonu \(V(h,a)\). Her ikisi de standart normal yoğunluğun, \(y = a\cdot x\) doğrusuyla sınırlanan kama biçimli bir bölge üzerindeki olasılık kütlesini tanımlar. Bu fonksiyonlar istatistiğin pek çok alanında karşımıza çıkar; çarpık normal dağılımlarda, iki değişkenli normal olasılıklarında, güvenilirlik analizinde ve opsiyon fiyatlamasında kullanılırlar. Bu tamamen matematiksel bir hesaptır ve ülkeden bağımsızdır (her yerde aynı şekilde geçerlidir).
Nasıl kullanılır?
Yüzde noktası h değerini (x üzerinden integralin üst sınırı ve standartlaştırılmış argüman) ve a katsayısını (\(y = a\cdot x\) sınır doğrusunun eğimi) girin. Her ikisi de boyutsuz gerçek sayılardır. Hesapla düğmesine basarak \(T(h,a)\) ve \(V(h,a)\) sonuçlarını alın.
Formülün açıklaması
Standart normal yoğunluk \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}\) olmak üzere, Owen T şu şekilde doğrudan hesaplanır: $$T(h,a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{e^{-\frac{1}{2}h^2(1+t^2)}}{1+t^2}\,dt$$ Hesaplayıcı bu integrali ince bir ağ üzerinde (binlerce alt aralık) bileşik Simpson kuralı ile değerlendirir; integrand asla ıraksamadığı için bu yöntem oldukça kararlıdır. V fonksiyonu ise sayfadaki \(T(h,a) + V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi}\) özdeşliğinden gelir; yani $$V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi} - T(h,a)$$ olur ve burada arctan radyan cinsindendir.
Çözümlü örnek
\(h = 2\) ve \(a = 0.6\) için: \(\int_{0}^{0.6} \frac{e^{-2(1+t^2)}}{1+t^2}\,dt \approx 0.05990\) integrali çıkar, dolayısıyla \(T = \frac{0.05990}{6.283185} \approx 0.0095330\) olur. Ardından \(V = \frac{\arctan(0.6)}{2\pi} - T = \frac{0.540419}{6.283185} - 0.0095330 \approx 0.0764779\) bulunur.
Sık sorulan sorular
T fonksiyonu h'ye göre simetrik midir? Evet — T yalnızca \(h^2\)'ye bağlı olduğundan \(T(-h,a) = T(h,a)\) olur. Peki a negatif olursa? T, a'ya göre tek fonksiyondur: \(T(h,-a) = -T(h,a)\); benzer şekilde arctan tek olduğundan \(V(h,-a) = -V(h,a)\) olur. a = 0 ise ne olur? Bu durumda kama sıfır alanlı bir doğruya indirgendiği için hem T hem de V tam olarak 0 değerini alır.
