Công cụ này làm gì
Công cụ tính hai hàm đặc biệt có quan hệ mật thiết với nhau của phân phối chuẩn chuẩn hóa hai biến (bivariate normal): hàm T Owen \(T(h,a)\) và hàm V \(V(h,a)\). Cả hai đều mô tả khối xác suất của mật độ chuẩn trên một vùng hình nêm được giới hạn bởi đường thẳng \(y = a\cdot x\). Chúng xuất hiện khắp nơi trong thống kê — ở phân phối skew-normal, xác suất chuẩn hai biến, phân tích độ tin cậy và định giá quyền chọn. Đây là toán học thuần túy, không phụ thuộc vào quốc gia hay vùng lãnh thổ nào (áp dụng được ở mọi nơi).
Cách sử dụng
Nhập điểm phần trăm h (cận trên của tích phân theo x, cũng là đối số đã chuẩn hóa) và hệ số a (độ dốc của đường biên \(y = a\cdot x\)). Cả hai đều là số thực không thứ nguyên. Nhấn nút tính để nhận kết quả \(T(h,a)\) và \(V(h,a)\).
Giải thích công thức
Với mật độ chuẩn chuẩn hóa \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^{2}/2}\), hàm T Owen được tính trực tiếp theo công thức $$T(h,a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{e^{-\frac{1}{2}h^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt$$ Công cụ tính tích phân này bằng quy tắc Simpson ghép trên một lưới mịn (hàng nghìn đoạn con), phương pháp này ổn định vì hàm dưới dấu tích phân không bao giờ tiến tới vô cực. Hàm V sau đó suy ra từ hằng đẳng thức trên trang \(T(h,a) + V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi}\), tức là $$V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi} - T(h,a)$$ với arctan tính bằng radian.
Ví dụ minh họa
Với \(h = 2\) và \(a = 0{,}6\): tích phân \(\int_{0}^{0{,}6} \frac{e^{-2(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt \approx 0{,}05990\), nên \(T = \frac{0{,}05990}{6{,}283185} \approx 0{,}0095330\). Khi đó $$V = \frac{\arctan(0{,}6)}{2\pi} - T = \frac{0{,}540419}{6{,}283185} - 0{,}0095330 \approx 0{,}0764779$$
Câu hỏi thường gặp
T có đối xứng theo h không? Có — T chỉ phụ thuộc vào \(h^{2}\), nên \(T(-h,a) = T(h,a)\). Còn a âm thì sao? T là hàm lẻ theo a: \(T(h,-a) = -T(h,a)\), và tương tự \(V(h,-a) = -V(h,a)\) vì arctan là hàm lẻ. Nếu a = 0 thì sao? Cả T và V đều bằng đúng 0, vì khi đó vùng hình nêm suy biến thành một đường thẳng có diện tích bằng 0.
