이 계산기의 기능
이 도구는 2차원(이변량) 표준정규분포와 밀접하게 관련된 두 특수함수, 즉 오웬의 T 함수 \(T(h,a)\)와 V 함수 \(V(h,a)\)를 계산합니다. 두 함수 모두 직선 \(y = a\cdot x\)로 경계가 정해지는 쐐기(wedge) 모양 영역 위에서 표준정규 밀도가 갖는 확률 질량을 나타냅니다. 이 함수들은 통계학 전반에 걸쳐 등장하며, 왜정규분포(skew-normal), 이변량 정규 확률, 신뢰성 분석, 옵션 가격 결정 등에 두루 쓰입니다. 순수 수학적 개념이므로 지역에 관계없이 어디서나 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
백분위점 h(x 적분의 상한이자 표준화된 인수)와 계수 a(경계선 \(y = a\cdot x\)의 기울기)를 입력하세요. 두 값 모두 단위가 없는 실수입니다. 계산 버튼을 누르면 \(T(h,a)\)와 \(V(h,a)\)가 출력됩니다.
공식 설명
표준정규 밀도 \(\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}\)에 대해, 오웬의 T는 다음과 같이 직접 계산됩니다:
$$T(h,a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{e^{-\frac{1}{2}h^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt$$이 계산기는 위 적분을 촘촘한 격자(수천 개의 소구간) 위에서 합성 심프슨 공식(composite Simpson's rule)으로 계산합니다. 피적분함수가 발산하지 않으므로 수치적으로 안정적입니다. V 함수는 페이지의 항등식 \(T(h,a) + V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi}\)에서 유도되며, 따라서
$$V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi} - T(h,a)$$가 됩니다. 여기서 arctan은 라디안 단위입니다.
계산 예시
\(h = 2\), \(a = 0.6\)일 때: 적분 \(\int_{0}^{0.6} \frac{e^{-2(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt \approx 0.05990\)이므로
$$T = \frac{0.05990}{6.283185} \approx 0.0095330$$입니다. 이어서
$$V = \frac{\arctan(0.6)}{2\pi} - T = \frac{0.540419}{6.283185} - 0.0095330 \approx 0.0764779$$가 됩니다.
자주 묻는 질문
T는 h에 대해 대칭인가요? 네 — T는 \(h^2\)에만 의존하므로 \(T(-h,a) = T(h,a)\)가 성립합니다. a가 음수면 어떻게 되나요? T는 a에 대해 홀함수입니다: \(T(h,-a) = -T(h,a)\). arctan 역시 홀함수이므로 \(V(h,-a) = -V(h,a)\)도 성립합니다. a = 0이면 어떻게 되나요? 쐐기 영역이 넓이가 0인 직선으로 줄어들기 때문에 T와 V 모두 정확히 0이 됩니다.
