Что вычисляет этот калькулятор
Инструмент рассчитывает две тесно связанные специальные функции двумерного (бивариантного) стандартного нормального распределения: T-функцию Оуэна \(T(h,a)\) и V-функцию \(V(h,a)\). Обе описывают вероятностную массу плотности стандартного нормального распределения над клиновидной областью, ограниченной прямой \(y = a\cdot x\). Эти функции встречаются повсюду в статистике — в косонормальных (skew-normal) распределениях, при расчёте вероятностей двумерного нормального закона, в анализе надёжности и при ценообразовании опционов. Это чистая математика: результат не зависит от страны или региона и применим везде.
Как пользоваться
Введите процентную точку h (верхний предел интегрирования по x и стандартизированный аргумент) и коэффициент a (угловой коэффициент граничной прямой \(y = a\cdot x\)). Оба параметра — безразмерные вещественные числа. Нажмите «Рассчитать», чтобы получить значения \(T(h,a)\) и \(V(h,a)\).
Разбор формулы
При плотности стандартного нормального распределения \(\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, e^{-x^{2}/2}\) T-функция Оуэна вычисляется напрямую:
$$T(h,a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{a} \frac{e^{-\frac{1}{2}h^{2}(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt$$Калькулятор берёт этот интеграл по составной формуле Симпсона на мелкой сетке (тысячи подынтервалов); метод устойчив, поскольку подынтегральная функция нигде не обращается в бесконечность. V-функция получается из тождества \(T(h,a) + V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi}\), откуда
$$V(h,a) = \frac{\arctan(a)}{2\pi} - T(h,a)$$где arctan берётся в радианах.
Разобранный пример
Пусть \(h = 2\) и \(a = 0{,}6\): интеграл \(\int_{0}^{0{,}6} \frac{e^{-2(1+t^{2})}}{1+t^{2}}\,dt \approx 0{,}05990\), поэтому \(T = \frac{0{,}05990}{6{,}283185} \approx 0{,}0095330\). Тогда \(V = \frac{\arctan(0{,}6)}{2\pi} - T = \frac{0{,}540419}{6{,}283185} - 0{,}0095330 \approx 0{,}0764779\).
Частые вопросы
Симметрична ли T относительно h? Да — T зависит только от \(h^{2}\), поэтому \(T(-h,a) = T(h,a)\). А что с отрицательным a? По a функция T нечётна: \(T(h,-a) = -T(h,a)\), и точно так же \(V(h,-a) = -V(h,a)\), поскольку arctan — нечётная функция. Что если a = 0? И T, и V в точности равны 0, так как клиновидная область вырождается в линию нулевой площади.
