Что считает этот калькулятор
Калькулятор логарифмической функции вычисляет три самых популярных логарифма для положительного числа x: натуральный логарифм \(\ln(x)\) (по основанию e), десятичный логарифм \(\log(x)\) (по основанию 10) и логарифм по произвольному основанию a, который записывается как \(\log_a(x)\). Это универсальный математический инструмент без привязки к стране или единицам измерения — на вход подаётся обычное безразмерное число.
Как пользоваться
Выберите нужную функцию из выпадающего списка. Для \(\ln(x)\) и \(\log(x)\) достаточно ввести только аргумент x. Для \(\log_a(x)\) дополнительно укажите основание a (оно должно быть больше 0 и не равняться 1). Введите x (для вещественного ответа он должен быть больше 0) и сразу получите результат — он выводится примерно с 14 значащими цифрами.
Разбираем формулу
Натуральный логарифм отвечает на вопрос «в какую степень нужно возвести e, чтобы получить x?», а десятичный — «в какую степень возвести 10, чтобы получить x?». Для произвольного основания калькулятор применяет формулу перехода к новому основанию:
$$\log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)}$$Это работает потому, что логарифмы по разным основаниям пропорциональны друг другу, и при делении двух натуральных логарифмов выбор основания в числителе и знаменателе сокращается.
Пример расчёта
Выберем \(\log_a(x)\) с основанием a = 2 и x = 8. Тогда
$$\log_2(8) = \frac{\ln(8)}{\ln(2)} = \frac{2{,}0794415\ldots}{0{,}6931472\ldots} = 3$$ведь 2 в степени 3 равно 8. Точно так же \(\log(1000) = 3\), поскольку 10 в кубе даёт 1000, а \(\ln(3)\) приблизительно равен \(1{,}0986122886681\).
Частые вопросы
Почему x должен быть больше 0? Вещественный логарифм определён только для положительных аргументов. Когда x стремится к 0, логарифм уходит в минус бесконечность, а при x, равном 0 или меньше, вещественного значения не существует (исходный инструмент в этом случае возвращает комплексное главное значение).
Почему основание не может равняться 1? \(\ln(1)\) равно 0, поэтому формула перехода к новому основанию привела бы к делению на ноль. Логарифмы по основанию 1 не определены.
Чем отличаются ln и log? \(\ln\) — это логарифм по основанию e (примерно 2,71828), а \(\log\) здесь означает основание 10. Они различаются на постоянный множитель: \(\log(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)}\).
