Что такое логарифм?
Логарифм отвечает на простой вопрос: в какую степень нужно возвести основание b, чтобы получить число x? Запись \(\log_b(x) = y\) означает, что \(b^y = x\). Например, \(\log_{10}(1000) = 3\), потому что \(10^3 = 1000\). Этот калькулятор вычисляет логарифм любого положительного числа x по любому допустимому основанию b, а заодно автоматически показывает три самых распространённых логарифма.
Как пользоваться калькулятором
Введите число x (должно быть больше 0) и основание b (должно быть больше 0 и не равно 1). В результате вы получите \(\log_b(x)\). Выберите основание 10 для десятичного логарифма, основание 2 — для двоичного логарифма, который применяется в программировании и теории информации, либо 2,718281828 (число Эйлера e) — для натурального логарифма. В таблице под основным результатом всегда выводятся \(\ln(x)\), \(\log_{10}(x)\) и \(\log_2(x)\) — для быстрой справки.
Разбираем формулу
Большинство компьютеров умеют напрямую вычислять только натуральный логарифм (ln) и десятичный логарифм по основанию 10, поэтому логарифм по произвольному основанию находят по формуле перехода к новому основанию:
$$\log_{\text{Base }b}\left(\text{Value }x\right) = \frac{\ln\left(\text{Value }x\right)}{\ln\left(\text{Base }b\right)}$$
Поскольку отношение остаётся тем же при любом одинаковом основании в числителе и знаменателе, можно с тем же успехом записать \(\log_b(x) = \log_{10}(x) \div \log_{10}(b)\). Оба способа дают одинаковый ответ.
Пример с решением
Найдём \(\log_2(8)\). По формуле перехода к новому основанию: \(\ln(8) \approx 2{,}079442\) и \(\ln(2) \approx 0{,}693147\). Разделим: $$2{,}079442 \div 0{,}693147 = 3$$ Результат совпадает с определением, ведь \(2^3 = 8\).
Частые вопросы
Почему x должно быть положительным? Логарифм нуля или отрицательного числа не определён в области действительных чисел: ни одна действительная степень положительного основания не даёт неположительного результата.
Почему основание не может быть равно 1? Единица в любой степени всегда равна 1, поэтому логарифм по основанию 1 не способен различать разные значения x — он не определён.
Что такое натуральный логарифм? Это логарифм по основанию \(e \approx 2{,}71828\), который обозначают \(\ln(x)\). Он встречается в математическом анализе, задачах роста и затухания, а также в финансах.
