लघुगणक क्या होता है?
लघुगणक एक सीधे-से सवाल का जवाब देता है: किसी आधार b को किस घात तक बढ़ाएँ कि वह संख्या x बन जाए? इसे \(\log_b(x) = y\) लिखा जाता है, यानी \(b^y = x\)। उदाहरण के लिए, \(\log_{10}(1000) = 3\), क्योंकि \(10^3 = 1000\) होता है। यह कैलकुलेटर किसी भी धनात्मक मान x का किसी भी मान्य आधार b पर लघुगणक निकालता है, और साथ ही तीन सबसे आम लघुगणक भी अपने आप दिखाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
मान x दर्ज करें (यह 0 से बड़ा होना चाहिए) और आधार b भरें (यह 0 से बड़ा और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए)। परिणाम \(\log_b(x)\) होगा। सामान्य लघुगणक के लिए आधार 10 का प्रयोग करें, कंप्यूटिंग और सूचना सिद्धांत में काम आने वाले बाइनरी लघुगणक के लिए आधार 2, या प्राकृतिक लघुगणक के लिए 2.718281828 (यूलर संख्या e)। मुख्य परिणाम के नीचे दी गई तालिका त्वरित संदर्भ के लिए हमेशा \(\ln(x)\), \(\log_{10}(x)\) और \(\log_2(x)\) दिखाती है।
सूत्र को समझें
ज़्यादातर कंप्यूटर सीधे केवल प्राकृतिक लघुगणक (ln) और आधार‑10 लघुगणक की ही गणना कर पाते हैं, इसलिए किसी भी मनमाने आधार के लघुगणक के लिए आधार-परिवर्तन नियम का प्रयोग किया जाता है:
$$\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$
चूँकि ऊपर और नीचे एक ही आधार रखने पर अनुपात समान ही रहता है, इसलिए आप इसे \(\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)}\) भी लिख सकते हैं। दोनों से बिल्कुल एक जैसा उत्तर मिलता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(\log_2(8)\) निकालिए। आधार-परिवर्तन सूत्र का प्रयोग करते हुए: \(\ln(8) \approx 2.079442\) और \(\ln(2) \approx 0.693147\)। भाग देने पर, $$\frac{2.079442}{0.693147} = 3$$ यह परिभाषा से मेल खाता है, क्योंकि \(2^3 = 8\) होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
x का धनात्मक होना ज़रूरी क्यों है? वास्तविक संख्याओं में शून्य या ऋणात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित होता है, क्योंकि किसी धनात्मक आधार की कोई भी वास्तविक घात शून्य या ऋणात्मक परिणाम नहीं देती।
आधार 1 क्यों नहीं हो सकता? 1 को किसी भी घात तक बढ़ाने पर हमेशा 1 ही मिलता है, इसलिए आधार 1 वाला लघुगणक x के अलग-अलग मानों में अंतर नहीं कर सकता — यह अपरिभाषित होता है।
प्राकृतिक लॉग क्या है? यह आधार \(e \approx 2.71828\) पर लिया गया लघुगणक है, जिसे \(\ln(x)\) लिखा जाता है। यह कैलकुलस, वृद्धि और क्षय की समस्याओं तथा वित्त में हर जगह दिखाई देता है।
