로그란 무엇인가요?
로그는 간단한 질문에 답을 줍니다. "밑 b를 몇 제곱해야 어떤 수 x가 될까?"라는 질문이죠. 이를 \(\log_b(x) = y\)로 쓰며, 이는 곧 \(b^y = x\)를 의미합니다. 예를 들어 \(10^3 = 1000\)이므로 \(\log_{10}(1000) = 3\)입니다. 이 계산기는 양수 x의 로그값을 유효한 임의의 밑 b에 대해 계산해 주며, 가장 자주 쓰이는 세 가지 로그값도 자동으로 함께 보여줍니다.
계산기 사용 방법
값 x(반드시 0보다 커야 합니다)와 밑 b(0보다 크고 1이 아니어야 합니다)를 입력하세요. 결과는 \(\log_b(x)\)입니다. 상용로그를 구하려면 밑을 10으로, 컴퓨터 과학과 정보 이론에서 쓰이는 이진로그를 구하려면 밑을 2로, 자연로그를 구하려면 2.718281828(오일러 수 e)을 입력하면 됩니다. 메인 결과 아래의 표에는 빠른 참고를 위해 \(\ln(x)\), \(\log_{10}(x)\), \(\log_2(x)\)가 항상 함께 표시됩니다.
공식 풀이
대부분의 컴퓨터는 자연로그(ln)와 상용로그(밑 10)만 직접 계산할 수 있습니다. 그래서 임의의 밑에 대한 로그는 다음의 밑변환 공식을 이용합니다.
$$\log_{\text{Base }b}\left(\text{Value }x\right) = \frac{\ln\left(\text{Value }x\right)}{\ln\left(\text{Base }b\right)}$$분자와 분모에 동일한 밑을 쓰기만 하면 같은 비율이 성립하므로, \(\log_b(x) = \log_{10}(x) \div \log_{10}(b)\)로 써도 똑같습니다. 두 식 모두 동일한 답을 줍니다.
예제로 살펴보기
\(\log_2(8)\)을 구해 봅시다. 밑변환 공식을 쓰면 \(\ln(8) \approx 2.079442\)이고 \(\ln(2) \approx 0.693147\)입니다. 이를 나누면 $$2.079442 \div 0.693147 = 3$$이 됩니다. \(2^3 = 8\)이라는 정의와도 정확히 일치하죠.
자주 묻는 질문
왜 x는 양수여야 하나요? 0이나 음수의 로그는 실수 범위에서 정의되지 않습니다. 양수인 밑을 어떤 실수로 거듭제곱해도 0 이하의 값이 나오지 않기 때문입니다.
왜 밑이 1이면 안 되나요? 1은 몇 제곱하든 항상 1이므로, 밑이 1인 로그는 서로 다른 x 값을 구분할 수 없습니다. 따라서 정의되지 않습니다.
자연로그란 무엇인가요? 밑이 \(e \approx 2.71828\)인 로그로, \(\ln(x)\)로 표기합니다. 미적분, 증가·감소(성장·감쇠) 문제, 금융 등 다양한 분야에서 등장합니다.
