Qu'est-ce qu'un logarithme ?
Le logarithme répond à une question simple : à quelle puissance faut-il élever une base b pour obtenir un nombre x ? On l'écrit \(\log_b(x) = y\), ce qui signifie \(b^y = x\). Par exemple, \(\log_{10}(1000) = 3\), car \(10^3 = 1000\). Cette calculatrice détermine le logarithme de n'importe quelle valeur positive x dans n'importe quelle base valide b, et affiche aussi automatiquement les trois logarithmes les plus courants.
Comment utiliser cette calculatrice
Saisissez la valeur x (qui doit être supérieure à 0) et la base b (qui doit être supérieure à 0 et différente de 1). Le résultat correspond à \(\log_b(x)\). Choisissez la base 10 pour le logarithme décimal, la base 2 pour le logarithme binaire utilisé en informatique et en théorie de l'information, ou 2,718281828 (le nombre d'Euler e) pour le logarithme népérien. Le tableau situé sous le résultat principal indique en permanence \(\ln(x)\), \(\log_{10}(x)\) et \(\log_2(x)\) pour une consultation rapide.
La formule expliquée
La plupart des ordinateurs ne savent calculer directement que le logarithme népérien (ln) et le logarithme décimal (base 10). Pour obtenir un logarithme dans une base quelconque, on applique donc la formule de changement de base :
$$\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$$
Comme le rapport reste identique quelle que soit la base utilisée au numérateur et au dénominateur, on peut tout aussi bien écrire \(\log_b(x) = \frac{\log_{10}(x)}{\log_{10}(b)}\). Les deux écritures donnent exactement le même résultat.
Exemple détaillé
Calculons \(\log_2(8)\). Avec la formule de changement de base : \(\ln(8) \approx 2{,}079442\) et \(\ln(2) \approx 0{,}693147\). En divisant, on obtient $$2{,}079442 \div 0{,}693147 = 3$$ Ce résultat est cohérent avec la définition, puisque \(2^3 = 8\).
FAQ
Pourquoi x doit-il être positif ? Le logarithme de zéro ou d'un nombre négatif n'est pas défini dans l'ensemble des nombres réels : aucune puissance réelle d'une base positive ne peut donner un résultat nul ou négatif.
Pourquoi la base ne peut-elle pas valoir 1 ? 1 élevé à n'importe quelle puissance vaut toujours 1. Le logarithme en base 1 ne peut donc pas distinguer les différentes valeurs de x : il n'est pas défini.
Qu'est-ce que le logarithme népérien ? C'est le logarithme de base \(e \approx 2{,}71828\), noté \(\ln(x)\). On le rencontre partout en analyse, dans les problèmes de croissance et de décroissance ainsi qu'en finance.
