¿Qué es un logaritmo?
Un logaritmo responde a una pregunta muy sencilla: ¿a qué potencia hay que elevar una base b para obtener un número x? Cuando escribimos \(\log_b(x) = y\), significa que \(b^y = x\). Por ejemplo, \(\log_{10}(1000) = 3\) porque \(10^3 = 1000\). Esta calculadora obtiene el logaritmo de cualquier valor positivo x en cualquier base válida b y, además, muestra automáticamente los tres logaritmos más utilizados.
Cómo usar la calculadora
Introduce el valor x (debe ser mayor que 0) y la base b (debe ser mayor que 0 y distinta de 1). El resultado es \(\log_b(x)\). Usa la base 10 para el logaritmo decimal, la base 2 para el logaritmo binario habitual en informática y teoría de la información, o 2,718281828 (el número e de Euler) para el logaritmo natural. La tabla situada debajo del resultado principal muestra siempre \(\ln(x)\), \(\log_{10}(x)\) y \(\log_2(x)\) para que los tengas a mano.
La fórmula explicada
La mayoría de las calculadoras y ordenadores solo pueden evaluar directamente el logaritmo natural (ln) y el logaritmo en base 10, así que para una base cualquiera se aplica la regla del cambio de base:
$$\log_{\text{Base }b}\left(\text{Value }x\right) = \frac{\ln\left(\text{Value }x\right)}{\ln\left(\text{Base }b\right)}$$
Como esa proporción se mantiene siempre que uses la misma base arriba y abajo, también podrías escribir \(\log_b(x) = \log_{10}(x) \div \log_{10}(b)\). Ambas expresiones dan exactamente el mismo resultado.
Ejemplo resuelto
Calculemos \(\log_2(8)\). Aplicando la fórmula del cambio de base: \(\ln(8) \approx 2{,}079442\) y \(\ln(2) \approx 0{,}693147\). Al dividir, $$2{,}079442 \div 0{,}693147 = 3.$$ El resultado coincide con la definición, ya que \(2^3 = 8\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué x tiene que ser positivo? El logaritmo de cero o de un número negativo no está definido en los números reales, porque ninguna potencia real de una base positiva da como resultado un valor menor o igual que cero.
¿Por qué la base no puede ser 1? El número 1 elevado a cualquier potencia siempre vale 1, así que un logaritmo en base 1 no podría distinguir entre distintos valores de x: queda indefinido.
¿Qué es el logaritmo natural? Es el logaritmo en base \(e \approx 2{,}71828\), que se escribe \(\ln(x)\). Aparece constantemente en cálculo, en problemas de crecimiento y decaimiento, y en finanzas.
