Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula el logaritmo de cualquier valor positivo b en cualquier base válida a. Las calculadoras corrientes solo suelen ofrecer la base 10 (log) y la base e (ln). Con la fórmula de cambio de base puedes obtener un logaritmo en cualquier base: base 2 para informática, base 16 o la base personalizada que necesites.
Cómo usarla
Introduce la base a (cualquier número positivo distinto de 1) y el valor b (cualquier número positivo). La calculadora te devuelve \(\log_a(b)\) junto con los logaritmos naturales intermedios \(\ln(b)\) y \(\ln(a)\), para que puedas comprobar el cálculo. El resultado responde a la pregunta: «¿A qué potencia debo elevar a para obtener b?».
La fórmula al detalle
La fórmula de cambio de base establece que $$\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$$ Como el logaritmo natural (o cualquier logaritmo de base fija) está disponible en todas las calculadoras científicas, dividir \(\ln(b)\) entre \(\ln(a)\) convierte el resultado a la base a. Se obtiene el mismo valor usando el logaritmo en base 10: $$\log_a(b) = \frac{\log(b)}{\log(a)}$$ El cociente es idéntico, sea cual sea la base intermedia que utilices.
Ejemplo resuelto
Imagina que quieres calcular \(\log_2(8)\). Aplicando la fórmula: \(\ln(8) \approx 2{,}0794415\) y \(\ln(2) \approx 0{,}6931472\). Al dividir obtienes $$\frac{2{,}0794415}{0{,}6931472} = 3$$ Tiene sentido, porque \(2^3 = 8\). Otro ejemplo: $$\log_5(125) = \frac{\ln(125)}{\ln(5)} = \frac{4{,}8283137}{1{,}6094379} = 3$$ ya que \(5^3 = 125\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué la base tiene que ser positiva y distinta de 1? Los logaritmos solo están definidos para bases positivas distintas de 1. Una base igual a 1 haría que \(\ln(a) = 0\), lo que provocaría una división por cero.
¿Puede b ser negativo o cero? No. El logaritmo de un número no positivo no está definido en los números reales, así que b debe ser mayor que 0.
¿Sale el mismo resultado si divido por ln o por log? Sí. \(\log_a(b)\) es el mismo tanto si usas logaritmos naturales como logaritmos en base 10 en el cociente: la base intermedia que elijas se cancela.
