ماذا تفعل هذه الحاسبة
تتيح لك هذه الأداة حساب لوغاريتم أي قيمة موجبة b بأي أساس صالح a. فالآلات الحاسبة العادية لا توفر عادةً سوى الأساس 10 (log) والأساس e (ln). لكن بفضل قانون تغيير الأساس يمكنك حساب اللوغاريتم بأي أساس تشاء — الأساس 2 المستخدم في علوم الحاسوب، أو الأساس 16، أو أي أساس مخصص تحتاجه.
طريقة الاستخدام
أدخل الأساس a (أي عدد موجب باستثناء 1) والقيمة b (أي عدد موجب). تعطيك الحاسبة قيمة \(\log_a(b)\)، إلى جانب اللوغاريتمين الطبيعيين الوسيطين \(\ln(b)\) و \(\ln(a)\) حتى تتمكن من التحقق من الخطوات. والنتيجة تجيب عن السؤال: «إلى أي أُس يجب أن أرفع a حتى أحصل على b؟»
شرح القانون
ينص قانون تغيير الأساس على أن $$\log_a(b) = \frac{\ln(b)}{\ln(a)}$$ وبما أن اللوغاريتمات الطبيعية (أو أي لوغاريتمات ذات أساس ثابت) متوفرة في كل آلة حاسبة علمية، فإن قسمة \(\ln(b)\) على \(\ln(a)\) تحوّل النتيجة إلى الأساس a. ويُمكن الحصول على النتيجة نفسها باستخدام الأساس 10: $$\log_a(b) = \frac{\log(b)}{\log(a)}$$ فالنسبة واحدة لا تتغير مهما كان الأساس الوسيط المستخدم.
مثال محلول
لنفترض أنك تريد حساب \(\log_2(8)\). بتطبيق القانون: \(\ln(8) \approx 2.0794415\) و \(\ln(2) \approx 0.6931472\). وبالقسمة نحصل على $$\frac{2.0794415}{0.6931472} = 3$$ وهذا منطقي لأن \(2^3 = 8\). ومثال آخر: $$\log_5(125) = \frac{\ln(125)}{\ln(5)} = \frac{4.8283137}{1.6094379} = 3$$ لأن \(5^3 = 125\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون الأساس موجبًا ولا يساوي 1؟ اللوغاريتمات معرّفة فقط للأسس الموجبة المختلفة عن 1. فلو كان الأساس 1 لأصبح \(\ln(a) = 0\)، مما يؤدي إلى القسمة على صفر.
هل يمكن أن تكون b سالبة أو صفرًا؟ لا. لوغاريتم العدد غير الموجب غير معرّف ضمن الأعداد الحقيقية، لذا يجب أن تكون b أكبر من 0.
هل تتطابق النتيجة سواء قسمتُ على ln أو على log؟ نعم. قيمة \(\log_a(b)\) واحدة سواء استخدمت اللوغاريتمات الطبيعية أو لوغاريتمات الأساس 10 في النسبة — لأن اختيار الأساس الوسيط يُختزل ولا يؤثر في النتيجة.
