ما هي مبرهنة دي موافر؟
تقدّم مبرهنة دي موافر طريقة أنيقة لرفع عدد مركب إلى أي أس. فبدلًا من ضرب المقدار ذي الحدّين في نفسه مرارًا وتكرارًا، تكتب العدد المركب في صورته القطبية — باستخدام مقياسه \(r\) وسعته \(\theta\) — ثم ترفع \(r\) ببساطة إلى الأس \(n\) وتضرب الزاوية في \(n\). تتولّى هذه الحاسبة عمليتي التحويل والحساب نيابةً عنك، وتعيد النتيجة في الصيغتين القطبية والديكارتية (\(a + bi\)) معًا.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل الجزء الحقيقي \(a\) والجزء التخيلي \(b\) للعدد المركب \(z = a + bi\)، ثم أدخل الأس \(n\). تحسب الأداة الصيغة القطبية، وتطبّق مبرهنة دي موافر، وتعرض الجزء الحقيقي والجزء التخيلي الناتجين إضافةً إلى المقياس والسعة. ويمكن أن يكون الأس أي عدد حقيقي، بما في ذلك الكسور لاستخراج الجذور والقيم السالبة للحصول على المقلوب.
شرح الصيغة
أولًا، حوّل العدد إلى الصيغة القطبية: المقدار \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) هو المسافة من نقطة الأصل، والزاوية \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) هي السعة. تنصّ مبرهنة دي موافر بعد ذلك على أن $$\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta).$$ فيصبح المقياس الجديد \(r^{n}\) والسعة الجديدة \(n\theta\). وعند التحويل العكسي نحصل على الصيغة الديكارتية: \(r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)\).
مثال محلول
لنأخذ \(z = 1 + i\) مع \(n = 2\). هنا \(r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) و \(\theta = 45^\circ\). وفقًا لمبرهنة دي موافر، يصبح المقياس \((\sqrt{2})^2 = 2\) وتصبح السعة \(2 \times 45^\circ = 90^\circ\). وبالتالي $$z^2 = 2(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ) = 0 + 2i.$$ ويمكنك التحقق من ذلك مباشرةً: \((1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i\). ✓
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن يكون n سالبًا أو كسريًا؟ نعم. يعطي \(n\) السالب القوة المعكوسة (المقلوب)، بينما يعطي \(n\) الكسري أحد الجذور (الجذر الأساسي المقابل للسعة الأساسية).
لماذا نستخدم atan2 بدلًا من arctan؟ تُرجع الدالة \(\operatorname{atan2}(b, a)\) الزاوية في الربع الصحيح، في حين أن \(\arctan(b/a)\) العادية تفقد معلومات الإشارة وتفشل عندما يكون \(a = 0\).
ماذا لو كان z = 0؟ يكون المقياس صفرًا، لذا فإن \(0^n = 0\) عندما يكون \(n\) موجبًا؛ أما السعة فغير معرّفة لكنها تُعامَل هنا على أنها صفر.
