डी मोइवर प्रमेय क्या है?
डी मोइवर प्रमेय किसी सम्मिश्र संख्या को किसी भी घात तक बढ़ाने का एक सरल और सुंदर तरीका देती है। द्विपद को बार-बार गुणा करने के बजाय, आप सम्मिश्र संख्या को उसके ध्रुवीय रूप (polar form) में लिखते हैं — यानी उसके मापांक \(r\) और कोणांक \(\theta\) के रूप में — और फिर बस \(r\) को घात \(n\) तक बढ़ा देते हैं और कोण को \(n\) से गुणा कर देते हैं। यह कैलकुलेटर यह पूरा रूपांतरण और गणना आपके लिए कर देता है, और परिणाम को ध्रुवीय तथा आयताकार (a + bi) दोनों रूपों में दिखाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी सम्मिश्र संख्या \(z = a + bi\) का वास्तविक भाग \(a\) और काल्पनिक भाग \(b\) दर्ज करें, फिर घातांक \(n\) दर्ज करें। यह उपकरण ध्रुवीय रूप की गणना करता है, उस पर डी मोइवर प्रमेय लागू करता है, और परिणामी वास्तविक भाग, काल्पनिक भाग, मापांक और कोणांक बता देता है। घातांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है — मूल (roots) के लिए भिन्न और व्युत्क्रम (reciprocal) के लिए ऋणात्मक मान भी।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले ध्रुवीय रूप में बदलें: \(r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) मूलबिंदु से दूरी है, और \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\) कोण है। इसके बाद डी मोइवर प्रमेय कहती है कि
$$\left(r(\cos\theta + i\sin\theta)\right)^{n} = r^{n}\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)$$नया मापांक \(r^{n}\) होता है और नया कोणांक \(n\theta\)। वापस आयताकार रूप में बदलने पर मिलता है:
$$r^{n}\cdot\cos(n\theta) + i\cdot r^{n}\cdot\sin(n\theta)$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(z = 1 + i\) और \(n = 2\)। यहाँ \(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\) और \(\theta = 45°\) है। डी मोइवर प्रमेय के अनुसार मापांक बनता है \((\sqrt{2})^{2} = 2\) और कोणांक बनता है \(2 \times 45° = 90°\)। तो
$$z^{2} = 2(\cos 90° + i\sin 90°) = 0 + 2i$$आप इसे सीधे भी जाँच सकते हैं:
$$(1 + i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i \quad\checkmark$$अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या \(n\) ऋणात्मक या भिन्न हो सकता है? हाँ। ऋणात्मक \(n\) व्युत्क्रम घात देता है और भिन्न \(n\) किसी एक मूल (root) को देता है — मुख्य मूल (principal root), जो मुख्य कोणांक के अनुरूप होता है।
arctan के बजाय atan2 क्यों इस्तेमाल करें? \(\operatorname{atan2}(b, a)\) कोण के लिए सही चतुर्थांश (quadrant) देता है, जबकि सामान्य \(\arctan(b/a)\) चिह्न की जानकारी खो देता है और \(a = 0\) होने पर काम नहीं करता।
अगर \(z = 0\) हो तो? मापांक 0 होता है, इसलिए धनात्मक \(n\) के लिए \(0^{n} = 0\); कोणांक अपरिभाषित होता है, पर यहाँ इसे 0 माना जाता है।
