शेषफल प्रमेय कैलकुलेटर

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बहुपद के गुणांक (सबसे ऊँची घात पहले, अल्पविराम या स्पेस से अलग) P(x) = 2x³ − 3x² + 5 के लिए डालें: 2, -3, 0, 5

भाजक का मान c (x − c में से)

परिणाम

शेषफल = P(c)

9

when P(x) is divided by (x − 2)

बहुपद की घात	3
भाजक का मान c	2

शेषफल प्रमेय क्या है?

शेषफल प्रमेय बीजगणित का एक बुनियादी नियम है: जब आप किसी बहुपद \(P(x)\) को एक रैखिक गुणनखंड \((x - c)\) से भाग देते हैं, तो उस भाग का शेषफल ठीक \(P(c)\) के बराबर होता है। इसका मतलब है कि शेषफल जानने के लिए आपको पूरी बहुपद दीर्घ भाग (long division) करने की ज़रूरत नहीं — आप बस बहुपद में \(c\) का मान रखकर हल कर लीजिए। यह कैलकुलेटर यही काम आपके लिए पल भर में कर देता है।

शेषफल प्रमेय: \(P(x)\) को \((x - c)\) से भाग देने पर शेषफल \(P(c)\) के बराबर होता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपने बहुपद के गुणांक सबसे ऊँची घात वाले पद से लेकर अचर पद तक क्रम से डालें, और उन्हें अल्पविराम (comma) या स्पेस से अलग करें। जो पद मौजूद नहीं हैं, उनके लिए शून्य ज़रूर जोड़ें। उदाहरण के लिए, \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) में \(x\) वाला पद नहीं है, इसलिए आप डालेंगे 2, -3, 0, 5। इसके बाद भाजक \((x - c)\) से लिया गया \(c\) का मान लिखें। अगर आपका भाजक \((x + 4)\) है, तो \(c = -4\) होगा। फिर 'कैलकुलेट' दबाते ही शेषफल \(P(c)\) मिल जाएगा।

सूत्र की व्याख्या

प्रमेय कहता है \(R = P(c)\)।

$$\text{Remainder} = P(c) = \sum_{i=0}^{n} a_i\,c^{\,n-i}$$

$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients} \\ c &= \text{Divisor value (from } x - c) \end{aligned} \right.$$

अंदरूनी तौर पर हम हॉर्नर विधि (Horner’s method) का इस्तेमाल करते हैं, जो बहुपद को नेस्टेड रूप में लिखकर सबसे कम गुणा से और बेहतर संख्यात्मक स्थिरता के साथ मान निकालती है। शुरुआत 0 से होती है; हर गुणांक के लिए हम चल रहे योग को \(c\) से गुणा करते हैं और अगला गुणांक जोड़ देते हैं। अंतिम योग ही \(P(c)\) होता है, जो शेषफल के बराबर है।

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हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) और इसे \((x - 2)\) से भाग देना है, यानी \(c = 2\)। हॉर्नर विधि से चरण-दर-चरण देखें: शुरुआत 0; \(\times 2 + 2 = 2\); \(\times 2 + (-3) = 1\); \(\times 2 + 0 = 2\); \(\times 2 + 5 = 9\)। तो \(P(2) = 9\), और शेषफल है 9। आप सीधे मान रखकर भी जाँच सकते हैं: $$2(8) - 3(4) + 5 = 16 - 12 + 5 = 9$$

\((x - c)\) से सिंथेटिक भाग: निचली पंक्ति का अंतिम अंक ही शेषफल \(P(c)\) है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर c शेषफल को शून्य बना दे तो? यदि \(P(c) = 0\) है, तो \((x - c)\) बहुपद \(P(x)\) को पूरी तरह विभाजित करता है — यानी \(c\) एक मूल (root) है और \((x - c)\) एक गुणनखंड है (गुणनखंड प्रमेय / Factor Theorem)।

भाजक के रूप में (x + 3) कैसे डालें? \(x + 3\) को \(x - (-3)\) के रूप में लिखें, इसलिए \(c = -3\) डालें।

क्या हर गुणांक डालना ज़रूरी है? हाँ — किसी भी अनुपस्थित घात के लिए 0 ज़रूर जोड़ें ताकि सभी पदों की स्थिति सही ढंग से मिले।