什麼是餘式定理？
餘式定理是代數中的一項基本定理：當你用一次因式 \((x - c)\) 去除多項式 \(P(x)\) 時，所得到的餘數恰好等於 \(P(c)\)。換句話說，你不必動手做冗長的多項式長除法，只要把 \(c\) 代入多項式求值即可。這個計算機會在瞬間幫你完成這件事。
如何使用這個計算機
請從最高次項到常數項，依序輸入多項式的各項係數，係數之間用逗號或空格分隔。記得把缺項的位置補上 0。舉例來說，\(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\) 沒有 \(x\) 的一次項，因此你應該輸入 2, -3, 0, 5。接著輸入除式 \((x - c)\) 中的 \(c\) 值。如果除式是 \((x + 4)\)，那麼 \(c = -4\)。按下計算，就能得到餘數 \(P(c)\)。
公式說明
定理本身寫成 $$R = P(c)$$ 在內部運算上，我們採用秦九韶演算法（霍納法，Horner’s method），將多項式改寫成巢狀形式，用最少的乘法次數求值，同時兼顧數值穩定性。 $$\text{Remainder} = P(c) = \sum_{i=0}^{n} a_i\,\text{c}^{\,n-i}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a_i &= \text{Coefficients} \\ c &= \text{Divisor value (from } x - c) \end{aligned} \right.$$ 從 0 開始，每讀進一個係數，就把目前的累加值乘以 \(c\)，再加上下一個係數。最後得到的結果就是 \(P(c)\)，也就是餘數。
實例演算
設 \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5\)，除以 \((x - 2)\)，因此 \(c = 2\)。用霍納法逐步計算：從 0 開始；\(\times 2 + 2 = 2\)；\(\times 2 + (-3) = 1\)；\(\times 2 + 0 = 2\)；\(\times 2 + 5 = 9\)。所以 \(P(2) = 9\)，餘數即為 9。你也可以用直接代入法驗證： $$2(8) - 3(4) + 5 = 16 - 12 + 5 = 9$$
常見問題
如果 \(c\) 讓餘數變成 0 會怎樣？ 若 \(P(c) = 0\)，代表 \((x - c)\) 能整除 \(P(x)\)——此時 \(c\) 是 \(P(x)\) 的一個根，而 \((x - c)\) 是它的一個因式（這就是因式定理）。
除式是 \((x + 3)\) 時要怎麼輸入？ 把 \(x + 3\) 改寫成 \(x - (-3)\)，所以輸入 \(c = -3\)。
每一個係數都要填嗎？ 是的——任何缺少的次方項都要補上 0，這樣各項的位置才會正確對齊。
