什麼是柴比雪夫定理？
柴比雪夫定理（又稱柴比雪夫不等式）能告訴你：在距離平均數一定個數標準差的範圍內，資料至少會佔多少比例——而且適用於任何分布，無論它有多偏斜、形狀多麼怪異。和只適用於鐘形（常態）分布的經驗法則不同，柴比雪夫定理給出的界限放諸四海皆準。
如何使用這個計算器
輸入 k，也就是你關心的「距離平均數幾個標準差」。計算器會回傳保證落在該範圍內的資料最少比例（以分數與百分比表示），以及可能落在範圍外的最大比例。請注意，\(k\) 必須大於 1 才能得到有意義的正值界限；當 \(k = 1\) 時，定理什麼都保證不了（0%）。
公式詳解
定理的內容如下：
$$P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^{2}}$$
其中 \(\mu\) 是平均數，\(\sigma\) 是標準差，\(k\) 是標準差的個數。\(1 - \frac{1}{k^{2}}\) 這個值，就是資料落在區間 \((\mu - k\sigma, \mu + k\sigma)\) 內的保證最少比例；它的補數 \(\frac{1}{k^{2}}\)，則是可能落在區間外的最大比例。
實例演算
假設 \(k = 2\)，那麼 $$1 - \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = 0.75$$ 也就是說，不論分布形狀如何，至少有 75% 的資料會落在平均數的 2 個標準差範圍內，最多只有 25% 落在範圍外。若 \(k = 3\)，界限則為 \(1 - \frac{1}{9} \approx 88.89\%\)。
常見問題
為什麼 k 一定要大於 1？當 \(k = 1\) 時，界限為 \(1 - \frac{1}{1} = 0\)，等於什麼都沒保證；而當 \(k < 1\) 時，界限會變成負數、毫無意義，因此計算器會直接顯示 0%。
它和經驗法則有什麼不同？經驗法則（68-95-99.7 法則）只給出近似百分比，而且僅適用於常態分布。柴比雪夫定理則為所有分布提供一個保證的下界，因此它的百分比一定比較小（更保守）。
k 可以是小數嗎？可以。\(k\) 可以是任何大於 1 的值，例如 1.5 或 2.5；公式 \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) 同樣適用於非整數的 \(k\)。
