ما هي مبرهنة تشيبيشيف؟
تخبرك مبرهنة تشيبيشيف (المعروفة أيضًا بمتباينة تشيبيشيف) بـأقل نسبة من البيانات التي يجب أن تقع ضمن عدد معيّن من الانحرافات المعيارية عن المتوسط — وهي صالحة لـأي توزيع كان، مهما كان ملتويًا أو غريب الشكل. وعلى عكس القاعدة التجريبية التي تنطبق فقط على البيانات ذات الشكل الجرسي (الطبيعي)، فإن حدّ تشيبيشيف يصحّ بشكل شامل.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة k، أي عدد الانحرافات المعيارية عن المتوسط التي تهتم بها. تعيد الحاسبة أقل نسبة (وأقل قيمة مئوية) من المشاهدات المضمون وقوعها ضمن هذا المجال، إضافةً إلى أعلى نسبة يُسمح لها بالوقوع خارجه. لاحظ أن قيمة \(k\) يجب أن تكون أكبر من 1 للحصول على حدّ موجب مفيد — فعند \(k = 1\) لا تضمن المبرهنة أي شيء (٪0).
شرح الصيغة
تنصّ المبرهنة على ما يلي:
$$P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^{2}}$$
حيث \(\mu\) هو المتوسط، و\(\sigma\) هو الانحراف المعياري، و\(k\) هو عدد الانحرافات المعيارية. والمقدار \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) هو أقل نسبة مضمونة من البيانات داخل المجال \((\mu - k\sigma,\ \mu + k\sigma)\). أما المتمّمة \(\frac{1}{k^{2}}\) فهي أعلى نسبة يمكن أن تقع خارج هذا المجال.
مثال محلول
لنفترض أن \(k = 2\). عندئذٍ يكون $$1 - \frac{1}{2^{2}} = 1 - \frac{1}{4} = 0.75.$$ أي أن ما لا يقل عن 75٪ من قيم البيانات تقع ضمن انحرافين معياريين عن المتوسط، وما لا يزيد عن 25٪ يقع خارج هذا المجال — بصرف النظر عن شكل التوزيع. وعند \(k = 3\) يصبح الحد \(1 - \frac{1}{9} \approx 88.89\%\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون k أكبر من 1؟ عند \(k = 1\) يكون الحد \(1 - \frac{1}{1} = 0\)، وهو ما لا يضمن أي شيء. وعند أي قيمة \(k < 1\) يصبح الحد سالبًا وعديم المعنى، لذا تُظهر الحاسبة ٪0.
ما الفرق بينها وبين القاعدة التجريبية؟ القاعدة التجريبية (68-95-99.7) تعطي نسبًا تقريبية لكنها تصلح فقط للتوزيعات الطبيعية. أما مبرهنة تشيبيشيف فتعطي حدًّا أدنى مضمونًا لكل توزيع، ولذلك تكون نسبها دائمًا أصغر (أي أكثر تحفّظًا).
هل يمكن أن تكون k قيمة عشرية؟ نعم. يمكن أن تأخذ \(k\) أي قيمة أكبر من 1، مثل 1.5 أو 2.5؛ فالصيغة \(1 - \frac{1}{k^{2}}\) تعمل مع القيم غير الصحيحة أيضًا.
