ما هو الاحتمال الشرطي؟
يقيس الاحتمال الشرطي مدى احتمالية وقوع الحدث A بعد أن نعلم أن حدثًا آخر B قد وقع بالفعل. ويُكتب على الصورة \(P(A|B)\) ويُقرأ "احتمال A بشرط B". وهذا المفهوم ركيزة أساسية في علم الإحصاء وتعلّم الآلة وتحليل المخاطر، بل وفي قراراتنا اليومية التي تتغير توقعاتنا فيها كلما توافرت معلومات جديدة.
كيف تستخدم هذه الحاسبة
أدخل قيمتين بين 0 و1: الاحتمال المشترك P(A و B) — أي احتمال وقوع الحدثين معًا — وP(B) — أي احتمال وقوع الحدث B وحده. تقوم الحاسبة بقسمة الاحتمال المشترك على \(P(B)\) وتُعيد لك قيمة \(P(A|B)\) في صورة عددية عشرية ونسبة مئوية في آنٍ واحد.
شرح المعادلة
المعادلة الأساسية هي:
$$P(A \mid B) = \frac{\text{P(A and B)}}{\text{P(B)}}$$
البسط، وهو P(A و B)، يمثل احتمال وقوع A وB معًا. وقسمته على \(P(B)\) يعيد ضبط هذا الاحتمال ضمن "العالم" الذي نعلم فيه أن B قد وقع. ولا بد أن تكون قيمة \(P(B)\) أكبر من صفر، لأن الاشتراط على حدث مستحيل الوقوع غير معرّف رياضيًا.
مثال تطبيقي
لنفترض أن احتمال أن تُمطر السماء وأن تحمل أنت مظلة هو \(P(A \text{ و } B) = 0.2\)، وأن احتمال أن تحمل المظلة هو \(P(B) = 0.5\). عندئذٍ يكون احتمال أن تُمطر بشرط أنك تحمل مظلة هو $$P(A \mid B) = 0.2 \div 0.5 = 0.4,$$ أي 40%.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت قيمة P(B) صفرًا؟ يكون الاحتمال الشرطي غير معرّف عندما تساوي \(P(B)\) صفرًا، لأنك لا تستطيع الاشتراط على حدث لا يقع أبدًا. وتُعيد هذه الحاسبة القيمة 0 في تلك الحالة كإجراء احترازي.
هل يمكن أن تتجاوز النتيجة الواحد الصحيح؟ لا. فطالما أن \(P(A \text{ و } B) \le P(B)\)، تبقى النتيجة محصورة بين 0 و1. وأي نتيجة تتجاوز الواحد تعني أن القيم التي أدخلتها غير متسقة.
ما الفرق بين هذا و P(A و B)؟ تمثل \(P(A \text{ و } B)\) الاحتمال المشترك لوقوع الحدثين معًا، أما \(P(A|B)\) فتفترض أن B قد وقع بالفعل وتسأل عن احتمال A فقط، ولذلك تكون عادةً أكبر قيمةً.
