ما هي التوفيقة؟
تُحسب التوفيقة عدد الطرق التي يمكنك بها اختيار مجموعة من العناصر من مجموعة أكبر عندما لا يهم ترتيب الاختيار. فاختيار التفاح والموز والكرز هو نفس اختيار الكرز والتفاح والموز تمامًا. ويُرمز لها بالصيغة \(C(n, r)\)، أو «اختيار r من n»، أو ما يُعرف بمعامل ذات الحدين (Binomial Coefficient). تعمل هذه الحاسبة مع أي أعداد صحيحة وتنطبق في كل مكان — فهي رياضيات بحتة لا تخضع لأي افتراضات خاصة ببلد معين.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العدد الإجمالي للعناصر المتاحة في خانة n، والعدد الذي تريد اختياره في خانة r. تُظهر لك الأداة عدد التوافيق المختلفة، وكميزة إضافية تعرض عدد التباديل \(P(n, r)\) حيث يكون الترتيب مهمًا. وإذا كانت قيمة r أكبر من n، تكون النتيجة صفرًا، لأنك لا تستطيع اختيار عناصر أكثر مما هو موجود فعليًا.
شرح القانون
قانون التوافيق هو
$$C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,\left(n - r\right)!}$$حيث يرمز «!» إلى المضروب (Factorial). يحسب البسط \(n!\) جميع ترتيبات المجموعة الكاملة، والقسمة على \((n - r)!\) تستبعد العناصر التي لم تخترها، والقسمة على \(r!\) تزيل الترتيبات المكررة للعناصر التي اخترتها — فلا يتبقى سوى المجموعات الفريدة. ولتجنّب التعامل مع قيم مضروب ضخمة، تقوم هذه الحاسبة بضرب أطراف النسبة طرفًا تلو الآخر لضمان استقرار النتائج العددية.
مثال محلول
كم عدد أيدي البوكر المكوّنة من 5 بطاقات التي يمكن تشكيلها من مجموعة من 52 ورقة؟ هنا \(n = 52\) و \(r = 5\). فيكون
$$C(52, 5) = \frac{52!}{5! \cdot 47!} = \frac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} = \mathbf{2{,}598{,}960}$$يدًا ممكنة.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين التوفيقة والتبديلة؟ التبديلة تحسب الترتيبات المرتّبة، بينما التوفيقة تتجاهل الترتيب. ولذلك يكون عدد التباديل دائمًا أكبر من أو يساوي عدد التوافيق.
ما قيمة \(C(n, 0)\)؟ تساوي 1 — فهناك طريقة واحدة فقط لاختيار «لا شيء» (المجموعة الخالية).
لماذا تكون \(C(n, r) = C(n, n - r)\)؟ لأن اختيار العناصر r التي ستُضمّن يعادل تمامًا اختيار العناصر n − r التي ستُستبعد، ولذلك يتساوى العددان.
