ما المقصود بالتوافيق مع التكرار؟
التوافيق مع التكرار (وتُعرف أيضًا بتوافيق المجموعات المتعددة أو الـ multiset) تحسب عدد الطرق المختلفة لاختيار r من العناصر من بين n من الأنواع المتمايزة، مع السماح بتكرار الاختيار وعدم اهتمامنا بترتيب العناصر. وعلى عكس التوافيق العادية، يمكن هنا اختيار النوع نفسه أكثر من مرة. تقوم هذه الحاسبة بإيجاد هذا العدد عبر صيغة المجموعات المتعددة \(\overline{C}(n,r) = \binom{n+r-1}{r}\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل عدد الأنواع المتمايزة n (مثل 5 نكهات للمثلجات)، ثم عدد العناصر التي تريد اختيارها r (مثل أخذ 3 كرات مثلجات). ستعيد لك الأداة عدد المجموعات المتعددة المختلفة، أي الاختيارات التي تتمايز فقط بنوع العناصر الظاهرة وعدد مرات ظهورها، بغض النظر عن الترتيب.
شرح الصيغة
تُعطى النتيجة بالصيغة $$\overline{C}(n,r) = \binom{n+r-1}{r} = \frac{\left(\text{Item types} + \text{Choose} - 1\right)!}{\text{Choose}!\,\left(\text{Item types} - 1\right)!}$$ ولفهمها بشكل بديهي نستعين بنموذج «النجوم والفواصل» (stars and bars): نضع \(r\) من النجوم المتطابقة في \(n\) من الخانات يفصل بينها \(n-1\) من الفواصل؛ فيقابل كل ترتيب اختيارًا واحدًا. ولتفادي تجاوز سعة الأعداد عند حساب المضروب، تحسب هذه الأداة المعامل الثنائي بطريقة الضرب التدريجي.
مثال محلول
لنفترض أن متجر مثلجات يقدّم \(n = 5\) نكهات، وتريد طبقًا من \(r = 3\) كرات مع السماح بالتكرار. عندئذٍ تكون $$\overline{C}(5+3-1, 3) = \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!\cdot 4!} = 35.$$ أي أن هناك 35 طبقًا مختلفًا يمكنك تكوينه.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين هذا والتوافيق العادية؟ في التوافيق العادية \(C(n, r)\) لا يُسمح بالتكرار، أما هنا فيمكن اختيار النوع نفسه عدة مرات.
هل يمكن أن تكون r أكبر من n؟ نعم. لأن التكرار مسموح به، يجوز أن تتجاوز \(r\) قيمة \(n\)؛ فمثلًا اختيار 10 كرات من 3 نكهات أمر صحيح تمامًا.
ماذا لو كانت r تساوي 0؟ اختيار لا شيء يعطي طريقة واحدة بالضبط (المجموعة المتعددة الفارغة)، لذا تكون النتيجة 1.
