可重复组合计算器

输入计算

物品种类数 (n)

选取数量 (r)

结果

可重复组合数

35

种不同的多重集

物品种类 (n)	5
选取个数 (r)	3
公式	C(n+r-1, r)

什么是可重复组合？

可重复组合（又称多重集组合）指的是：在允许重复、且不考虑选取顺序的前提下，从 n 种不同类型中选出 r 个物品，一共有多少种选法。与普通组合不同的是，同一种物品可以被多次选中。本计算器使用多重集公式 \(C(n+r-1, r)\) 来计算这一数量。

可重复组合允许多次选取同一种元素，且不考虑顺序。

如何使用本计算器

输入不同物品的种类数 n（例如 5 种口味的冰淇淋），以及你想选取的物品数量 r（例如挖 3 个球）。计算器会返回不同多重集的数量——也就是仅根据"出现了哪些种类、各出现几次"来区分、而忽略顺序的所有选法。

公式详解

结果由公式 $$C(n + r - 1, r) = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$ 给出。可以借助"隔板法"（stars and bars，又称插空法）来理解：把 \(r\) 个相同的小球放入 \(n\) 个由 \(n-1\) 块隔板分隔的格子中，每一种摆放方式都对应一种选法。为避免阶乘溢出，本计算器采用连乘的方式来计算二项式系数。

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隔板法将每种选取对应为 r 个星号和 n-1 个隔板。

实例演算

假设一家冰淇淋店提供 \(n = 5\) 种口味，你想要一碗 \(r = 3\) 个球的冰淇淋，且允许重复。那么 $$C(5+3-1, 3) = C(7, 3) = \frac{7!}{3!\cdot 4!} = 35.$$ 也就是说，你一共可以搭配出 35 种不同的组合。

常见问题

它和普通组合有什么区别？ 普通组合 \(C(n, r)\) 不允许重复；而这里同一种类型可以被多次选中。

r 可以大于 n 吗？ 可以。由于允许重复，\(r\) 可以超过 \(n\)——例如从 3 种口味中选 10 个球是完全合理的。

如果 r 等于 0 会怎样？ 什么都不选恰好只有 1 种方式（即空多重集），因此结果为 1。