重複組合せとは？
重複組合せ（多重集合の組合せとも呼ばれます）とは、n 種類の異なるものの中から、同じものを何度選んでもよく、選ぶ順序を区別しない条件で r 個を選ぶときの選び方の総数を数えるものです。通常の組合せと違い、同じものを2回以上選ぶことができます。この計算ツールでは、多重集合の公式 \(C(n+r-1, r)\) を使ってその総数を求めます。
このツールの使い方
異なるものの種類の数 n（例：アイスクリームのフレーバー5種類）と、選びたい個数 r（例：コーンを3つ盛る）を入力してください。ツールは、どの種類がいくつ含まれるかだけで区別され、順序は無視した「多重集合」の数を返します。
公式の解説
結果は $$\overline{C}(n,r) = \binom{n+r-1}{r} = \frac{\left(n + r - 1\right)!}{r!\,\left(n - 1\right)!}$$ で求められます。直感的に理解するには「仕切りと玉（stars and bars）」モデルが便利です。r 個の同じ玉を、n−1 本の仕切りで区切られた n 個の箱に並べると考え、その並べ方のひとつひとつが選び方のひとつに対応します。なお、このツールでは階乗のオーバーフローを避けるため、二項係数を掛け算によって段階的に計算しています。
具体例で確認
あるアイスクリーム店に \(n = 5\) 種類のフレーバーがあり、重複ありで \(r = 3\) すくいのボウルを作りたいとします。すると $$C(5+3-1, 3) = C(7, 3) = \frac{7!}{3!\cdot 4!} = 35$$ となります。つまり、作れるボウルの組み合わせは35通りです。
よくある質問
通常の組合せとは何が違うのですか？ 通常の組合せ \(C(n, r)\) では同じものの重複は許されませんが、重複組合せでは同じ種類を何度でも選ぶことができます。
r が n より大きくてもよいですか？ はい。重複が許されるため、r が n を超えても問題ありません。たとえば3種類のフレーバーから10すくいを選ぶことも有効です。
r が 0 のときはどうなりますか？ 何も選ばない場合の選び方はちょうど1通り（空の多重集合）なので、結果は1になります。
