重複組合せとは？
重複組合せ（英語では「multichoose」）とは、n種類の異なるものからr個を選ぶとき、選ぶ順序を区別せず、しかも同じ種類を何度でも選べる場合の選び方の総数を数えるものです。結果は「多重集合（マルチセット）」になります。たとえば、3種類のフレーバーからアイスクリームを2すくい選ぶ際に同じものを重ねて選べるなら、{バニラ, バニラ} や {バニラ, チョコ} といった組合せが得られます。
計算ツールの使い方
n（選ぶ対象となる異なるものの種類数）と、r（取り出したい標本のサイズ）を入力します。どちらも0以上の整数でなければなりません。「計算」を押すと、サイズrの異なる多重集合の数、すなわち \(C^R(n,r)\) が表示されます。
公式の解説
この個数は二項係数 \(C(n + r - 1, r)\) に等しく、展開すると次のようになります。
$$C^R(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$これは有名な「仕切りと玉（stars and bars）」の考え方による結果で、r個の同じ「星」を、n - 1本の「仕切り」で分けられたn個の箱に振り分けることに対応します。階乗のオーバーフローを避けるため、本ツールではiを1からrまで動かしながら、途中の積に \((n - 1 + i)\) を掛けてiで割る、という計算を繰り返します。
$$C^R(n,r) = \prod_{i=1}^{r} \frac{n - 1 + i}{i}$$
計算例
\(n = 10\)、\(r = 3\) の場合：
$$C^R(10,3) = C(12,3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$$つまり、10種類から重複を許して3個を選ぶ方法は220通りあります。
よくある質問
通常の組合せとは何が違うのですか？ 通常の組合せ \(C(n,r)\) では重複が許されませんが、重複組合せでは同じものを何度でも選べます。そのため、一般に重複組合せの方が個数は大きくなります。
r = 0 のときは？ 「何も選ばない」選び方はちょうど1通りなので、\(n \geq 1\) のとき \(C^R(n,0) = 1\) となります。
n = 0 のときは？ 選ぶものがなく\(r > 0\) の場合、結果は0です。なお、\(n = 0, r = 0\) の場合は慣例として1とします。
