Calculateur de combinaisons avec répétition (multichoose)

Formule

Show calculation steps (1)

Iterative product form

Overflow-safe accumulation used by the calculator.

Résultats

Résultat C^R(n,r)

220

multiensembles de taille r parmi n types

Formule	C^R(n,r) = C(n + r - 1, r)
n (objets)	10
r (échantillon)	3

Qu'est-ce qu'une combinaison avec répétition ?

Une combinaison avec répétition, souvent appelée « multichoose » en anglais, compte le nombre de façons de prélever $r$ éléments parmi $n$ types distincts lorsque l'ordre de sélection n'a aucune importance et que l'on autorise le choix répété d'un même type. Chaque résultat est un multiensemble : par exemple, choisir 2 boules de glace parmi 3 parfums, avec répétitions permises, donne des sélections comme {vanille, vanille} ou {vanille, chocolat}.

Choix de boules parmi trois parfums de glace avec répétition autorisée — Combinaisons avec répétition : choisir r éléments parmi n types, répétitions autorisées, ordre ignoré.

Comment utiliser le calculateur

Saisissez $n$, le nombre d'objets ou de types distincts parmi lesquels choisir, puis $r$, la taille de l'échantillon que vous souhaitez prélever. Ces deux valeurs doivent être des entiers positifs ou nuls. Cliquez sur Calculer : l'outil renvoie $C^R(n,r)$, le nombre de multiensembles distincts de taille $r$.

La formule expliquée

Le résultat est égal au coefficient binomial $C(n + r - 1, r)$, qui se développe en :

$$C^R(n, r) = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{(n + r - 1)!}{r!\,(n - 1)!}$$

C'est le célèbre résultat des « étoiles et barres » (stars and bars) : on répartit $r$ étoiles identiques dans $n$ cases séparées par $n - 1$ barres. Pour éviter tout dépassement lié aux factorielles, le calculateur multiplie le produit courant par $(n - 1 + i)$ puis le divise par $i$, pour $i$ variant de 1 à $r$ :

$$C^R(n,r) = \prod_{i=1}^{r} \frac{n - 1 + i}{i}$$

Diagramme étoiles et barres associant une sélection de multiensemble à des séparateurs — Étoiles et barres : r étoiles et n-1 barres donnent la formule (n+r-1 parmi r).

Exemple détaillé

Pour $n = 10$ et $r = 3$ :

$$C^R(10,3) = C(12,3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = \frac{1320}{6} = 220$$

Il existe donc 220 façons de choisir 3 éléments parmi 10 types avec répétition autorisée.

FAQ

En quoi cela diffère-t-il d'une combinaison classique ? Une combinaison classique $C(n,r)$ interdit la répétition ; la combinaison avec répétition autorise le choix multiple d'un même élément, si bien que le résultat est en général plus grand.

Que se passe-t-il si $r = 0$ ? Il existe exactement une façon de ne rien choisir, donc $C^R(n,0) = 1$ pour tout $n \geq 1$.

Et si $n = 0$ ? Sans aucun élément et avec $r > 0$, le résultat vaut 0 ; le cas vide $n = 0, r = 0$ est égal à 1 par convention.

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