Qu'est-ce que le calculateur de permutations et combinaisons ?
Cet outil détermine le nombre de façons d'arranger ou de sélectionner r éléments parmi un ensemble de n éléments distincts. Une permutation compte les arrangements ordonnés, tandis qu'une combinaison compte les sélections où l'ordre n'a aucune importance. Ces deux notions sont au cœur des probabilités, des statistiques et de l'analyse combinatoire.
Comment l'utiliser
Saisissez le nombre total d'éléments n et le nombre que vous souhaitez choisir r (avec \(r \le n\)). Le calculateur affiche aussitôt \(P(n, r)\) et \(C(n, r)\). Par exemple, former un comité de 3 personnes parmi 5 relève d'une combinaison, alors que attribuer 3 prix classés à 5 candidats correspond à une permutation.
Les formules expliquées
La formule des permutations s'écrit $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$ : elle compte les arrangements où l'ordre compte. La formule des combinaisons est $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ où l'on divise par les \(r!\) façons de réordonner un groupe choisi. Comme l'ordre est ignoré, \(C(n, r)\) est toujours inférieur ou égal à \(P(n, r)\).
Exemple détaillé
Prenons \(n = 5\) et \(r = 3\). On obtient alors $$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$ arrangements ordonnés. En divisant par \(3! = 6\), on trouve $$C(5, 3) = \frac{60}{6} = 10$$ sélections non ordonnées. Il existe donc 60 façons d'attribuer l'or, l'argent et le bronze à 5 coureurs, mais seulement 10 façons d'en choisir 3 pour former une équipe.
Foire aux questions
Que se passe-t-il si r est supérieur à n ? On ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe : les deux résultats valent alors 0.
Combien vaut 0! ? Par convention, \(0! = 1\), ce qui donne \(C(n, 0) = 1\) et \(P(n, 0) = 1\).
Pourquoi les grandes valeurs perdent-elles en précision ? Les factorielles croissent extrêmement vite : au-delà d'environ 15 chiffres significatifs, les résultats deviennent des approximations en virgule flottante.
