Máy tính Chỉnh hợp và Tổ hợp là gì?
Công cụ này tính số cách sắp xếp hoặc chọn ra r phần tử từ một tập gồm n phần tử khác nhau. Chỉnh hợp đếm số cách sắp xếp có để ý đến thứ tự, còn tổ hợp đếm số cách chọn mà không quan tâm thứ tự. Đây đều là những khái niệm nền tảng trong xác suất, thống kê và tổ hợp — những nội dung quen thuộc trong chương trình Toán lớp 10 ở Việt Nam.
Cách sử dụng
Nhập tổng số phần tử n và số phần tử bạn muốn chọn r (với \(r \le n\)). Máy tính sẽ trả về ngay cả \(P(n, r)\) lẫn \(C(n, r)\). Ví dụ, chọn một ban gồm 3 người từ 5 người là bài toán tổ hợp; còn trao 3 giải thưởng có thứ hạng cho 5 thí sinh lại là bài toán chỉnh hợp.
Giải thích công thức
Công thức chỉnh hợp là $$P(n,r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$ dùng để đếm các cách sắp xếp khi thứ tự có ý nghĩa. Công thức tổ hợp là $$C(n,r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ trong đó ta chia bớt đi \(r!\) cách hoán đổi vị trí của nhóm đã chọn. Vì bỏ qua thứ tự nên \(C(n, r)\) luôn nhỏ hơn hoặc bằng \(P(n, r)\).
Ví dụ minh họa
Cho \(n = 5\) và \(r = 3\). Khi đó $$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$ cách sắp xếp có thứ tự. Chia cho \(3! = 6\) ta được $$C(5, 3) = \frac{60}{6} = 10$$ cách chọn không kể thứ tự. Vậy có 60 cách trao huy chương vàng, bạc, đồng cho 5 vận động viên, nhưng chỉ có 10 cách chọn ra 3 người trong số đó để lập đội.
Câu hỏi thường gặp
Nếu r lớn hơn n thì sao? Bạn không thể chọn nhiều phần tử hơn số phần tử hiện có, nên cả hai kết quả đều bằng 0.
0! bằng bao nhiêu? Theo quy ước, \(0! = 1\), do đó \(C(n, 0) = 1\) và \(P(n, 0) = 1\).
Vì sao số liệu lớn lại bị mất độ chính xác? Giai thừa tăng cực kỳ nhanh, nên các kết quả vượt quá khoảng 15 chữ số có nghĩa chỉ là giá trị xấp xỉ theo dạng số thực dấu phẩy động.
