Что такое калькулятор перестановок и сочетаний?
Этот инструмент считает, сколькими способами можно расставить или выбрать r элементов из множества, состоящего из n различных элементов. Перестановка (или размещение) учитывает порядок элементов, а сочетание подсчитывает наборы, где порядок не имеет значения. Оба понятия — основа теории вероятностей, статистики и комбинаторики.
Как пользоваться
Введите общее число элементов n и количество, которое нужно выбрать, — r (при условии \(r \le n\)). Калькулятор сразу покажет и \(P(n, r)\), и \(C(n, r)\). Например, выбор комиссии из 3 человек среди 5 — это сочетание, а распределение 3 призовых мест среди 5 участников — перестановка.
Разбор формулы
Формула перестановок (размещений):
$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$— она считает варианты, в которых важен порядок. Формула сочетаний:
$$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$— здесь мы делим на \(r!\), то есть на число способов переставить выбранную группу. Поскольку порядок не учитывается, \(C(n, r)\) всегда меньше либо равно \(P(n, r)\).
Пример с решением
Пусть \(n = 5\) и \(r = 3\). Тогда
$$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$упорядоченных вариантов. Разделив на \(3! = 6\), получаем
$$C(5, 3) = \frac{60}{6} = 10$$неупорядоченных наборов. Значит, золото, серебро и бронзу между 5 бегунами можно распределить 60 способами, но выбрать любых 3 из них в команду — лишь 10 способами.
Частые вопросы
Что если r больше n? Нельзя выбрать больше элементов, чем есть на самом деле, поэтому оба результата равны 0.
Чему равно 0!? По определению \(0! = 1\), поэтому \(C(n, 0) = 1\) и \(P(n, 0) = 1\).
Почему при больших числах теряется точность? Факториалы растут чрезвычайно быстро, поэтому результаты примерно за пределами 15 значащих цифр становятся приближёнными значениями с плавающей точкой.
