¿Qué es la calculadora de permutaciones y combinaciones?
Esta herramienta calcula de cuántas maneras puedes ordenar o seleccionar r elementos a partir de un conjunto de n elementos distintos. Una permutación cuenta las ordenaciones en las que el orden importa, mientras que una combinación cuenta las selecciones en las que el orden es indiferente. Ambos conceptos son fundamentales en probabilidad, estadística y combinatoria.
Cómo usarla
Introduce el número total de elementos n y la cantidad que deseas elegir r (siempre con \(r \le n\)). La calculadora devuelve al instante tanto \(P(n, r)\) como \(C(n, r)\). Por ejemplo, formar un comité de 3 personas a partir de 5 es una combinación, mientras que repartir 3 premios ordenados entre 5 concursantes es una permutación.
Las fórmulas explicadas
La fórmula de las permutaciones es $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$ que cuenta las ordenaciones en las que el orden sí importa. La fórmula de las combinaciones es $$C(n, r) = \frac{n!}{r!\,(n - r)!}$$ donde se eliminan las \(r!\) formas de reordenar un mismo grupo elegido. Como el orden no se tiene en cuenta, \(C(n, r)\) siempre es menor o igual que \(P(n, r)\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(n = 5\) y \(r = 3\). Entonces $$P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$ ordenaciones distintas. Al dividir entre \(3! = 6\) obtenemos $$C(5, 3) = \frac{60}{6} = 10$$ selecciones sin orden. Es decir, hay 60 maneras de repartir el oro, la plata y el bronce entre 5 corredores, pero solo 10 maneras de elegir a 3 de ellos para un equipo.
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si r es mayor que n? No puedes elegir más elementos de los que existen, así que ambos resultados son 0.
¿Cuánto vale 0!? Por definición, \(0! = 1\), de modo que \(C(n, 0) = 1\) y \(P(n, 0) = 1\).
¿Por qué se pierde precisión con valores grandes? Los factoriales crecen muchísimo, por lo que los resultados que superan unos 15 dígitos significativos son valores aproximados en coma flotante.
