¿Qué es una permutación con repetición?
Una permutación con repetición (también llamada permutación con reemplazo) cuenta el número de ordenaciones posibles cuando cada elemento elegido se devuelve al conjunto antes de hacer la siguiente selección. Como los elementos pueden repetirse y el orden importa, cada una de las r posiciones dispone de las n opciones completas. Por eso, el número total de ordenaciones es \(P = n^r\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce dos valores: n, el número de elementos distintos disponibles, y r, el número de posiciones o selecciones que quieres cubrir. La calculadora eleva al instante n a la potencia r y muestra el total de secuencias ordenadas posibles.
La fórmula explicada
La regla se deduce del principio de multiplicación. En la primera posición tienes n opciones; como el elemento se devuelve al conjunto, la segunda posición vuelve a tener n opciones, y así sucesivamente para las r posiciones. Al multiplicar obtenemos $$n \times n \times \cdots \times n \ (r \text{ veces}) = n^r.$$ Esto es distinto de las permutaciones sin repetición, donde cada elección reduce el conjunto restante.
Ejemplo resuelto
Un PIN de 4 cifras usa los dígitos del 0 al 9 y estos pueden repetirse. Aquí \(n = 10\) y \(r = 4\), así que $$P = 10^4 = 10\,000 \text{ PIN posibles}.$$ Del mismo modo, una contraseña de 3 caracteres formada con las 26 letras minúsculas y con repeticiones da $$26^3 = 17\,576 \text{ combinaciones}.$$
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia de una combinación? Las combinaciones no tienen en cuenta el orden, mientras que las permutaciones sí lo cuentan. «AB» y «BA» son dos permutaciones diferentes, pero la misma combinación.
¿Qué pasa si r es mayor que n? No hay problema con repetición: puedes elegir más veces que el número de elementos distintos, porque cada elemento puede reutilizarse, por ejemplo \(2^5 = 32\).
¿Cuánto vale \(n^0\)? Cualquier n distinto de cero elevado a 0 es 1: existe exactamente una forma de no elegir nada (la ordenación vacía).
