¿Qué es la calculadora de permutaciones impares?
En teoría de grupos y combinatoria, toda permutación de un conjunto se clasifica como par o impar, según pueda escribirse como un número par o impar de transposiciones (intercambios de dos elementos). Esta calculadora te indica cuántas permutaciones impares existen en un conjunto de n elementos distintos. Solo tienes que introducir un valor —el número de elementos (n)— y obtendrás el recuento de permutaciones impares, junto con el número total de permutaciones y el de permutaciones pares para que tengas el contexto completo.
La fórmula
Para cualquier conjunto de n elementos distintos (con n ≥ 2), exactamente la mitad de todas las permutaciones son impares y la otra mitad son pares. El número total de permutaciones es n!, así que el número de permutaciones impares es:
Permutaciones impares = n! / 2
- Permutaciones totales = n! (todas las ordenaciones posibles)
- Permutaciones impares = n! / 2
- Permutaciones pares = n! − (n! / 2) = n! / 2
La calculadora admite números enteros positivos desde 1 hasta 1000 y utiliza aritmética de enteros grandes, por lo que maneja resultados factoriales enormes sin desbordamientos.
Cómo usarla
- Introduce el número de elementos n en el campo correspondiente (por ejemplo, 5).
- Pulsa para calcular y verás al instante el número de permutaciones impares.
- El resultado también muestra el total y el número de permutaciones pares, así puedes comprobar el reparto 50/50.
Nota: el valor introducido debe ser un número entero positivo igual o menor que 1000. Los números negativos, el cero, los decimales o el texto no numérico devolverán un error.
Ejemplo resuelto
Supongamos que n = 5. Primero calculamos el total de permutaciones: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Después lo dividimos entre 2:
Permutaciones impares = 120 / 2 = 60
Las permutaciones pares también son 120 − 60 = 60. Por tanto, un conjunto de 5 elementos tiene 60 permutaciones impares y 60 pares.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el resultado es siempre exactamente la mitad de n!? Para n ≥ 2, el conjunto de las permutaciones pares forma el grupo alternado, que siempre tiene exactamente la mitad de los elementos del grupo simétrico completo. La otra mitad son impares.
¿Y cuando n = 1? Un solo elemento tiene una única permutación (la identidad), que es par. La fórmula 1! / 2 = 0 refleja que no hay permutaciones impares cuando n = 1.
¿Por qué el máximo es 1000? Los factoriales crecen a una velocidad astronómica. Limitar n a 1000 mantiene los cálculos manejables y, aun así, cubre con creces cualquier problema de combinatoria del día a día.
