¿Qué es una permutación con repetición?
Una permutación con repetición cuenta de cuántas formas se pueden ocupar r posiciones ordenadas eligiendo entre n elementos distintos, donde cada elemento puede usarse más de una vez. Se representa con la notación \({}^{n}\Pi_{r}\). Como el orden importa y se admiten repeticiones, cada posición es una elección independiente entre los n elementos disponibles. Se trata de matemáticas puras, así que el resultado es el mismo en cualquier parte del mundo.
La fórmula
El número total de ordenaciones es, sencillamente, n elevado a la potencia r:
$$ {}^{n}\Pi_{r} = \text{n}^{\,\text{r}} $$
Esto se deduce del principio de multiplicación: la primera posición tiene n opciones, la segunda también tiene n opciones (puesto que se permite repetir), y así sucesivamente para las r posiciones, lo que da \(n \times n \times \ldots \times n = n^{r}\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce n, el número de elementos distintos disponibles, y r, el número de posiciones que hay que ocupar (la longitud de cada secuencia ordenada). Ambos deben ser números enteros no negativos. Como se permite la repetición, r puede ser mayor que n. La calculadora devuelve el recuento exacto utilizando aritmética de precisión arbitraria, de modo que incluso los resultados enormes se muestran con total exactitud.
Ejemplo resuelto
Con \(n = 5\) elementos distintos y \(r = 3\) posiciones: $$ {}^{n}\Pi_{r} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125 $$ Es decir, hay 125 secuencias ordenadas de longitud 3 formadas a partir de 5 elementos con repetición permitida. Otro ejemplo: \(n = 2\), \(r = 10\) da \(2^{10} = 1024\), que es el número de cadenas binarias de longitud 10.
Preguntas frecuentes
¿En qué se diferencia de nPr? Las permutaciones ordinarias sin repetición usan la fórmula \({}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\), donde cada elemento se utiliza como máximo una vez. Esta herramienta permite repetir, por lo que aplica \(n^{r}\).
¿Qué pasa si r = 0? \({}^{n}\Pi_{0} = n^{0} = 1\), la única ordenación vacía. Por convención combinatoria estándar, aquí incluso \(0^{0} = 1\).
¿Y si n = 0 y r ≥ 1? El resultado es 0, ya que no se puede ocupar ninguna posición a partir de un conjunto vacío de elementos.
