重複順列とは
重複順列とは、異なる n 個のものから重複を許して取り出し、順序をつけて r 個並べるときの総数のことです。記号では \({}^{n}\Pi_{r}\) と表します。各位置で同じものを何度でも選べるため、r 個の位置それぞれが、つねに n 通りから独立して選ぶことになります。これは純粋な数学の概念で、国や地域を問わず同じように成り立ちます。
公式
並べ方の総数は、n を r 乗した値で簡単に求められます。
$$ {}^{n}\Pi_{r} = \text{n}^{\,\text{r}} $$
これは積の法則から導かれます。1 番目の位置の選び方は n 通り、2 番目も（重複が許されるので）n 通り、…と r 個目まで同様に続くため、\(n \times n \times \cdots \times n = n^{r}\) となります。
この計算機の使い方
用意できる異なるものの個数 n と、並べる位置の数（各列の長さ）r を入力してください。どちらも 0 以上の整数です。重複が許されるため、r が n より大きくてもかまいません。本計算機は任意精度演算を用いて正確な整数値を返すので、結果がどれほど大きくなっても誤差なく表示されます。
計算例
異なる n＝5 個のものから r＝3 個を並べる場合：\({}^{n}\Pi_{r} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125\) となります。つまり、重複を許して 5 個から長さ 3 の列を作る並べ方は 125 通りです。もう一つの例として、n＝2、r＝10 のとき \(2^{10} = 1024\) となり、これは長さ 10 の 2 進文字列の総数に相当します。
よくある質問
nPr とは何が違いますか？ 重複を許さない通常の順列は \({}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}\) で表され、各要素は最大 1 回しか使えません。本ツールは重複を許すため、\(n^{r}\) を用います。
r＝0 のときはどうなりますか？ \({}^{n}\Pi_{0} = n^{0} = 1\) となり、これは「何も並べない」という 1 通りの空の並べ方を表します。組合せ論の標準的な慣例により、ここでは \(0^{0} = 1\) と扱います。
n＝0 で r ≥ 1 のときはどうなりますか？ 結果は 0 です。要素が空集合のため、どの位置も埋めることができないからです。
